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[Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

[Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

Mensagempor anderson_wallace » Sex Jan 10, 2014 00:48

Seja V={M}_{2,2}, e seja W o subespaço gerado por

\begin{pmatrix}
   1 & -5  \\ 
   -4 & 2 
\end{pmatrix}\ , \ \begin{pmatrix}
   1 & 1  \\ 
   -1 & 5 
\end{pmatrix}\ , \ 
\begin{pmatrix}
   2 & -4  \\ 
   -5 & 7 
\end{pmatrix} \ , \ 
\begin{pmatrix}
   1 & -7  \\ 
   -5 & 1 
\end{pmatrix}

Encontrar uma base e a dimensão de W.

Sempre que é dado um conjunto gerador e quero encontrar uma base de um subespaço de {R}^{n} uso um algoritmo dado no livro do seymour lipschutz, que consiste basicamente em escrever os vetores do conjunto gerador como colunas de uma matriz, escalona-la, e daí para cada coluna {C}_{k} da matriz escalonada que não tiver pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) retirar o vetor {u}_{k} do conjunto gerador. No fim, os vetores que restarem formam uma base do subespaço.

Mas nesse caso não estou trabalhando com n-uplas ordenadas, assim não tenho como escrever os elementos desse conjunto gerador como colunas de uma matriz. Como obter uma base para o conjunto em questão? Ou de modo mais geral, como proceder para encontrar uma base de um subespaço de matrizes de ordem n quando é dado um conjunto gerador?
anderson_wallace
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Re: [Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

Mensagempor e8group » Dom Jan 12, 2014 19:16

Tenho uma ideia . Considere A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n matrizes p \times q linearmente independentes (L.I.) . Vamos designar o elemento da matriz A_k ,(k=1,\hdots,n) por [A_k]_{ij} (encontro da i-ésima linha com a j-ésima coluna da matriz A_k) com i=1,\hdots ,p e j=1, \hdots ,q . Tomemos a combinação linear nula

\sum_{k=1}^n \alpha_k A_k  = \alpha_1 A_1 + \hdots + \alpha_n A_n = O_{p\times q} = matriz nula de ordem p\times q .

Daí ,teremos o sistema de p\cdot q equações para n incógnitas .

\sum_{k=1}^n \alpha_k [A_k]_{ij} = 0 (i=1,...,p ; j=1,...,q)

ou na forma matricial

A \cdot  \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_{n\times 1} em que

A é uma matriz (p\cdot q) \times  n ;e a cada m \in \{1,2,\hdots ,pq\} associamos um único vetor V_{ij} = ([A_1]_{ij},\hdots , [A_n]_{ij})  \in \mathbb{R}^n que representa sua m -ésima linha .

Podemos concluir que se as matrizes A_k são L.I., então a matriz acima A é invertível e portanto a , p=q e det(A) \neq 0 .

Em resumo ,dada as matrizes A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n, para verificar que o conjunto constituído por elas é L.I. , façamos a verificação na seguinte ordem :

(i) Verificar se p=q
(ii) Caso o item (i) seja verdadeiro ,verifiquemos se det(A) \neq 0 .

Caso ambos itens acima são verdadeiros ,então o sistema acima só admite a solução trivial ,consequentemente \{A_1 , A_2 ,\hdots ,A_n\} L.I.


Exemplo .

Pelas 4 matrizes de ordem 2 \times 2 que você postou ,podemos formar por exemplo a seguinte matriz de ordem (2\cdot 2) \times 4 = 4 \times 4 (a primeira condição já é verdadeira )

\begin{pmatrix} 1 & 1 &2 & 1 \\  -5& 1 &-4 & -7 \\-4 & -1 & -5& -5 \\ 2&  5 &7 & 1 \end{pmatrix} .

Este é um exemplo (não o único) ,basta permutar as linhas da matriz acima que obterá outras possibilidades .

Vamos verificar o item (ii) , usando o wolfram alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... 2C+1%7D%7D

podemos ver que o determinante da matriz é nulo ; logo ela não é invertível ,logo o conjunto constituído pelas matrizes dadas não é uma base do espaço vetorial dado .

Espero que ajude .Se notar algo errado por favor post .
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Re: [Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

Mensagempor anderson_wallace » Seg Jan 13, 2014 23:24

Não conhecia essa propriedade que envolve do determinante da matriz. É um método bem prático para determinar se as matrizes são L.I. ou L.D..
Havia tentado encontrar o subespaço gerado, isto é, encontrar uma notação geral para todas as matrizes que podem ser escritas como combinação linear dessas e daí encontrar uma base, mas não deu certo (o escalar que multiplicava a última matriz não tinha como ser 'eliminado').
Estive estudando melhor esse exercício e acho que a única forma de encontrar uma base desse subespaço a partir desse conjunto gerador é testando para verificar qual matriz é combinação linear da demais, e assim remover do conjunto.

Obrigado pela ajuda!
anderson_wallace
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Re: [Base] Encontrar uma base e a dimensão do subespaço

Mensagempor Guilherme Pimentel » Qua Jan 15, 2014 05:23

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Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.


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