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[Matrix do operador]

[Matrix do operador]

Mensagempor Tathiclau » Sáb Dez 14, 2013 14:37

Determine a matriz do operador de derivação D: Pn \rightarrow Pn relativamente a base {1,t,t²,...,{t}^{n}}.
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Re: [Matrix do operador]

Mensagempor e8group » Sáb Dez 14, 2013 17:01

Comece notando que qualquer polinômio de grau menor ou igual a n é escrito como combinação linear dos n+1 monômios 1 ,t, \hdots , t^n . Denotando p_i(t) = t^i , i=0,\hdots ,n . Aplicando o operador de derivação ,segue

D(p_i) =   i \cdot t^{i-1}  =  \sum_{k=0}^n  \alpha_k t^k,onde \alpha_{i-1} = i e os demais escalares todos iguais a zero , desde que i > 0 . E se i =  0 todos escalares \alpha_k são iguais a zero .

Tente concluir .
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Re: [Matrix do operador]

Mensagempor Tathiclau » Sáb Dez 14, 2013 17:32

santhiago escreveu:Comece notando que qualquer polinômio de grau menor ou igual a n é escrito como combinação linear dos n+1 monômios 1 ,t, \hdots , t^n . Denotando p_i(t) = t^i , i=0,\hdots ,n . Aplicando o operador de derivação ,segue

D(p_i) =   i \cdot t^{i-1}  =  \sum_{k=0}^n  \alpha_k t^k,onde \alpha_{i-1} = i e os demais escalares todos iguais a zero , desde que i > 0 . E se i =  0 todos escalares \alpha_k são iguais a zero .

Tente concluir .



Eu entendi o que vc fez mas a matriz do operador na base que ele deu eu não sei achar.
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Re: [Matrix do operador]

Mensagempor e8group » Sáb Dez 14, 2013 18:57

Talvez a forma compacta de escrever a soma não te ajudou , expandimos ela então . Conforme já introduzido p_k(t) =t^k e D(p_k) = k \cdot t^{k-1} .Escrevendo D(p_k) como combinação linear dos p_k's ,teremos

D(p_0 (t))  =  0 \cdot 1 + 0 \cdot t + \hdots + 0 \cdot t^n

D(p_1(t))  = 1\cdot 1 + 0 \cdot t  + \hdots + 0 \cdot t^n
(...)

D(p_{n-1} (t)) = 0 \cdot 1 + \hdots +0 \cdot t^{n-3}+ (n-1) \cdot t^{n-2} + 0 \cdot t^{n-1} + 0 \cdot t^{n}

D(p_{n}) (t) = 0 \cdot 1 + \hdots + 0 \cdot t^{n-2} + n \cdot t^{n-1} + 0 \cdot t^n .

Agora tente avançar .
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Re: [Matrix do operador]

Mensagempor Tathiclau » Sáb Dez 14, 2013 19:09

Entendi completamente agora, muito obrigada :-D
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.