Sistema de Equações

por **brunnkpol** » Dom Jun 09, 2013 10:11

Como posso resolver esse sistema? Não possuo esse conhecimento.

$\\{x}^{3}y-x{y}^{3}=24 \\{x}^{4}+{y}^{4}-6{x}^{2}{y}^{2}=28$

por **e8group** » Dom Jun 09, 2013 13:05

Sistemas não lineares geralmente não são fáceis de ser resolvidos ,mas vamos tentar .

Deixando

em evidência na primeira equação ,temos : xy(x^2 - y^2) = 24

.Já na segunda equação manipulando ela de forma de conveniente de obtermos uma equação com os termos semelhantes com o da primeira ,segue que 2ª eq . é equivalente a :

$(a) \hspace{15mm} (x^2 - y^2 -2xy )(x^2 - y^2 + 2xy) = 28$ , multiplicando ambos lados por (xy)^2

,segue $(a_1) \hspace{15mm} (xy[x^2-y^2] -2(xy)^2)(xy[x^2-y^2] +2(xy)^2) = 28(xy)^2$ .Comparando o item (a_1)

com a equação 1 do sistema que você postou ,podemos substituir xy[x^2-y^2]

por

,logo

$(24 -2(xy)^2)(24 + 2(xy))= 4(12 -(xy)^2)(12 +(xy)^2) = 24(xy)^2 \overset{\div 4}{\implies} (a_3) \hspace{15mm}(12 -(xy)^2)(12 +(xy)^2) = 7(xy)^2$ .

Fazendo t = (xy)^2

,temos :

$(12-t)(12+t) = 7t \implies 12^2 - t^2 = 7t \implies t^2 + 7t - 12^4 = 0$ .Agora podemos resolver esta equação aplicando a fórmula resolvente , $t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-12^2)}}{2 } = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 + (24)^2}}{2} = \frac{7\pm \sqrt{625}}{2}$ .Como

não é negativo ,a única possibilidade é : $t = 16 \implies (xy)^2 = 16 = 4^2 \implies |xy| = 4 \implies xy =\pm 4$ . Esta última relação ,permite substituir |xy|

em

e além disso ,podemos escrever

em função de

, e por fim vamos ter uma equação em apenas uma variável .Então : $xy(x^2 - y^2) = 24 \implies \pm4( (\pm 4/y)^2 - y^2) = 24 \implies \pm 6 = 16/y^2 - y^2 \overset{\times y^2}{\implies} \pm 6y^2 =16 - y^4$ ;está equação pode ser resolvida de forma análoga a (a_3)

. Encontrando

,basta lembrar que x = 4/y

.

Observação :

Tente manipular a segunda equação e chegar em (a)

,fica como exercício .Não estou vendo uma forma mais simples ,talvez há outras possibilidades ...

por **brunnkpol** » Ter Jun 11, 2013 00:43

Obrigado por responder, consegui desenvolver por esse método o problema. Achava que tinha outro método que desconhecia, mas pelo que vi é uma questão de manipulação nas equações.
Só um detalhe, acho que na resolução da equação ${t}^{2}+7t-{12}^{2}=0$ por bháskara o 7 está positivo ao invés de negativo ao final.

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