[Dúvida] Subespaço Vetorial de Funções

por **Jhonata** » Sex Mai 10, 2013 23:43

Olá pessoal, venho com mais algumas dúvidas sobre o incrível universo da álgebra linear. Bem, como não tenho a quem recorrer no fim de semana, são vocês que sempre salvam minha pele. Então, eis os problemas...

Determine se são subespaços vetoriais de F(R,R):

a) O conjunto das funções continuas;

b){f(x) = asen(x)+2, a pertence a R};

c){f(x)=ax²+b, b, a pertencem a R};

gab: Sim, não, sim
Tenho algumas deduções quanto a isso, mas não sei como provar, portanto, não sei se estou certo... Enfim, peço para que, por gentileza, se puderem me explicar do porque as respostas, ficarei grato.

Abraços!

por **e8group** » Sáb Mai 25, 2013 13:25

a) O conjunto $C^{\circ}(\mathbb{R})$ das funções contínuas ,de fato é um subespaço vetorial de.Pois ,

i) Existe uma função 0(t) =0

identicamente nula $\in C^{\circ}(\mathbb{R})$ .

ii) Sejam f,g

funções contínuas .Então : $(f+g)(t) = f(t) + g(t) \in C^{\circ}(\mathbb{R})$ .

iii) $\forall \alpha \in \mathbb{R} \implies (\alpha \cdot f)(t) = \alpha \cdot f(t) \in C^{\circ}(\mathbb{R})$

b) O conjunto $\{f(x) = asin(x) + 2 ; a\in \mathbb{R}\}$ não é subespaço vetorial de $F(\mathbb{R} ; \mathbb{R} )$ .Pois ,tomando-se $\alpha = 0$ (que é um número real) temos que não existe uma função identicamente nula neste conjunto ,não satisfazendo então uma propriedade do subespaço vetorial .

c) Fica como exercício .

por **e8group** » Qui Ago 01, 2013 00:38

Sei que há muito tempo que respondi este tópico ,hoje vejo que há um erro em relação ao item (b), portanto não faz sentido não corrigi-ló.

Vamos mostrar que a função identicamente nula a qual denotaremos por

não se exprime como a sin x + 2

independente da escolha do número

.Se tivéssemos $O(t) = a \cdot sin t + 2$ ,então resultaria , $O(t) = a \cdot sin t + 2 = 0 , \forall t \in \mathbb{R}$ .Em particular para t = 0

teríamos

por outro lado $a sin(0) + 2 = a \cdot 0 + 2 = 2$ .

Alternativamente , poderíamos também definir a função $g : t \mapsto a sin(t) + 2$ tal que g(t) = 0