[Transform. linear] A imagem de T(x,y,z)=(x,y,z)x(1,1,1) é?

por **robmenas** » Seg Abr 01, 2019 13:25

A imagem da transformação linear T(x,y,z)=(x,y,z) $\times$ (1,1,1), em que $\times$ indica o produto vetorial em $\mathbb{R}^3$ , é:

(A) $\mathbb{R}^3$

(B) A reta de equação t(1,1,1), t $\in \mathbb{R}$

(C) A reta de equação t(1,0,-1), t $\in \mathbb{R}$

(D) O plano de equação x+y+z=0

(E) O plano de equação x-z=0

por **robmenas** » Sáb Abr 06, 2019 15:07

T(x,y,z) = (x,y,z) $\times$ (1,1,1)
T(x,y,z) = (y-z , z-x , x-y)
T(x,y,z) = (0, -x, x) + (y, 0, -y) + (-z, z, 0)
T(x,y,z) = x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) + z(-1, 1, 0)

Ou seja, Im(T) é o conjunto gerado pelos vetores (0, -1, 1), (1, 0, -1) e (-1, 1, 0).
Opções:
(1) se os vetores são L.I., então Im(T) = $\mathbb{R}^3$ ;
(2) se os vetores são L.D., então Im(T) forma algum plano ou alguma reta;

x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) + z(-1, 1, 0) = (0, 0, 0)
$\left\{ \begin{array}{ll}y-z=0 \\ z-x=0 \\ x-y=0 \end{array}$

x = z = y que é diferente da solução trivial, então os vetores são linearmente dependentes. Descartando um deles, podemos dizer que
Im(T) é o conjunto gerado pelos vetores (0, -1, 1) e (1, 0, -1).

Opções:
(1) se os vetores são L.I., então Im(T) forma um plano;
(2) se os vetores são L.D., então Im(T) forma uma reta;

x(0, -1, 1) + y(1, 0, -1) = (0, 0, 0)
$\left\{ \begin{array}{ll}y=0 \\ x=0 \end{array}$
Que é a solução trivial. Logo os vetores são Linearmente independentes e Im(T) forma um plano.

Comparando aos planos dados nas alternativas, o único que se ajusta aos vetores (0, -1, 1) e (1, 0, -1), que são bases da Im(T), é x+y+z=0.

Logo, a resposta é a alternativa D.