Matriz ortogonal

por **fisicanaveia** » Sáb Out 04, 2014 17:53

Uma matriz ortogonal é uma matriz em que a inversa é igual a transposta. Mas pq ela tem esse nome 'ortogonal' ?

por **e8group** » Sáb Out 04, 2014 18:52

Suponha $Q \in \mathbb{R}^{n\times n}$ (espaço das matrizes n por n sobre R) com tal propriedade

$Q \cdot Q^{T} = I = Q^T Q (*)$ .Como de costume as entradas de uma matriz A é representado por $(A)_{ij}$ ou simplesmente $a_{ij}$ ,com esta notação e da definição de produto de matrizes , temos

$(Q\cdot Q^t)_{ij} = \sum_{l = 1}^n (Q)_{il} \cdot (Q^t)_{lj} = \sum_{l = 1}^n q_{il} q_{jl} = \delta_{ij} (**)$ (Delta de Kronecker) .

Podemos construir n vetores pondo $v_i := (q_{i1} , \hdots , q_{in} ) \in \mathbb{R}^n$ .Aplicando o produto interno (usual do R^n) em quaisquer pares de vetores (v_i,v_j) obteremos exatamente a soma em (**) . Segue daí que os n vetores v_i são ortogonais e unitários . Ou seja , as linhas da matrizes Q são vetores ortonormais .Analogamente mostra-se que as colunas de Q são vetores ortonormais e daí o nome matriz ortogonal .

por **fisicanaveia** » Sáb Out 04, 2014 19:14

E a matriz normal pq tem esse nome ?

Matriz ortogonal

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