[Álgebra Linear][Dúvida][Provar subespaço]

por **Nicolas1Lane** » Sex Set 12, 2014 16:45

A questão que estou a fazer me pede para verificar se W é subspaço de M(2,2) sendo W $\in$ M(2,2)/ b = a d = -a

Então pensei; fácil, basta provar que as propriedades de soma de 2 matrizes estão contidas no subespaço assim como o produto de 2 matrizes igual ao produto do mesmo quando sua ordem for trocada...
-Para a soma, Ok.
-Mas para o produto, nem
Queria ajuda de vocês para ver se estou certo nisto ou o gabarito está correto. Ele afirma ser verdade que W é subspaço de M.
Mas olhem comigo isto:
Se $Wo = \begin{pmatrix} ao & ao \\ co & -ao\\ \end{pmatrix}$ e $Wi = \begin{pmatrix} ai & ai \\ ci & -ai\\ \end{pmatrix}$
Então $WoWi=WiWo\rightarrow \begin{pmatrix} aoai+aoci & aoai-aoai\\ coai-aoci & coai+aoai\\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} aoai+aico & aiao-aiao\\ ciao-aico & ciao+aiao\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} ao(ai+ci) & 0 \\ coai-aoci & ai(co+ao)\\ \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} ai(ao+co) & 0 \\ ciao-aico & ao(ci+ai)\\ \end{pmatrix}$

Poderiam me dar uma luz, galera?

por **adauto martins** » Qui Out 23, 2014 15:11

para provar se W e um subespaço,deve-se provar q.:
1) $0\in M(2,2)$ :
afirmativo,pois 0=0.0=-0,logo $0\in M(2,2)$
2)dados ${W}_{1},{W}_{2}\in M(2,2)e a,b \in\Re(corpo),entao a.{W}_{1}+b{W}_{2}\in M(2,2)$ ,aqui multiplicaçao por escalar e nao multiplicaçao de matruizes,como vc fez,entao:
sejam... ${w}_{1}\in M(2,2)\Rightarrow a.w2=a(w1.w2)=-a.w1, {w}_{2}\in M(2,2)\Rightarrow b.w2=b.(w1.w2)=-b.w1,$ ,LOGO:
a. $a.{W}_{1}+b{W}_{2}=a.w1+bw2=a.(w1.w2)+b.(w1.w2)=a.(-w1) +b.(-w2)=-(aw1+bw2),o qual satisfaz a propriedade de multiplicaçao por escalar logo W\in M(2,2)$

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