Mudança de base

por **Thalis** » Qui Jul 24, 2014 01:34

Mudança de base

Tenho uma matriz quadrada A.
Não sei em que base ela está escrita.
É possível escreve-la na base canônica?
Há alguma maneira de eu descobrir em que base ela está escrita?

Obrigado.

por **Pessoa Estranha** » Qui Jul 24, 2014 23:31

Olá!

Podemos sim escrever uma matriz quadrada na base canônica ou em qualquer outra base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem "n".

Vou colocar um exemplo.

Seja A uma matriz pertencente ao espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Na verdade, o que devemos observar são as coordenadas dessa matriz na base desejada. Assim:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \Rightarrow {\left[A \right]}_{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \\ 9 \\ \end{pmatrix}$

Ou seja, a matriz A pode ser assim escrita (na base canônica):

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \Rightarrow A = 1.\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 5. \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 7. \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 9.\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Analogamente, podemos escrever a matriz A noutra base do espaço dessas matrizes. Contudo, precisamos ter em mente que para ser base, um conjunto deve satisfazer: linearmente independente e gerador do espaço.

Espero ter ajudado um pouco...

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