[Representação Matricial] Op. linear definido por rotação

[12200633]

O enunciado é o seguinte:
Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares L em R² descritos a seguir:

a)L reflete cada vetor x em relação ao eixo dos e depois roda o vetor refletido de 90° no sentido trigonométrico.

Bem, eu pensei em fazer dessa forma: colocar cada um dos vetores da base canônica no plano cartesiano, realizar as operações de rotação solicitadas e assim descobrir o que a transformação faz com cada um dos vetores.

L(1, 0) = <reflete em relação ao eixo x> (-1, 0) <rodar o vetor refletido de 90° no sentido trigonométrico> bem o sentido trigonométrico que eu saiba é o anti horário, então rotacionando esse vetor fica (0, -1)

L(0, 1) = <reflete em relação ao eixo x> (0, -1) <rotar o vetor refletido de 90° no sentido trigonométrico> (1, 0)

assim: L(1, 0) = (0, -1), L(0, 1) = (-1, 0).

L(1, 0) = (0, -1) = 0*(1, 0) + (-1)*(0, 1)
L(0, 1) = (1, 0) = 1*(1, 0) + 0(0, 1)

assim a matriz de L fica:

eu achava que é assim, porém existe outro exercício que é assim:
b) L dobra o comprimento de x e depois roda o vetor obtido de 30°no sentido trigonométrico.

aí eu acho que é com senos e cossenos e aí travei nessa parte, alguém pode me ajudar aí? a prova é amanhã hahaha D:

[ant_dii]

Verifique sua resposta do primeiro! Como você quer refletir em relação ao eixo , o vetor continua . Se fosse outro vetor, digamos , refletido em relação ao eixo ficaria . A Transformação Linear neste caso, em geral, é dada por: .

Quanto a rotação (daí ajuda nos dois problemas) a Transformação Linear, em geral, é dada por: , onde é o ângulo em que deseja fazer a rotação.

Lembre-se que o comprimento de um vetor é dado por: . Como você obtém o dobro desse comprimento?
Essa transformação será um caso particular das Homotetias (Semelhanças) dadas, em geral, por: , onde é uma constante.

Para o segundo caso, se não quiser usar a fórmula, você pode raciocinar como fez no primeiro caso, mas tomando o cuidado de dobrar o comprimento do vetor e de usar triângulos retângulos para saber onde o novo ponto será projetado nos eixos (isso serve para encontrar as coordenadas).

Tente novamente e qualquer coisa retorne. Você esta no caminho certo.