Base

por **Priscilla Correa** » Seg Set 30, 2013 20:42

Olá, gostaria de ajuda nesse exercício:
Verifique se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V.
B = {1, 1+t, 1-t², 1-t-t²-t³}, V= P3(R).

Obrigada

por **Russman** » Seg Set 30, 2013 20:56

Para o subconjunto ser base é necessário q o mesmo seja LI. Verifique este fato.

por **Priscilla Correa** » Seg Set 30, 2013 21:04

Eu sei que ele tem que ser LI, mas para mostrar isso eu multiplico eles por alfa, beta, gama e delta e igualo a "0"??

Obrigada

por **Russman** » Seg Set 30, 2013 21:23

Não necessariamente. Para B não ser LI basta que um dos vetores seja combinação linear dos demais( ou até mesmo só de um).

Exemplo:

O conjunto $B={v_1,v_2}={x,2x}$ não é LI, pois 2.v_1=v_2

. Isto é,

é escrito como combinação linear dos demais vetores do subconjunto.

No seu exemplo veja claramente que não existem coeficientes que multiplicados aos vetores resultam em um que esteja no conjunto. Assim, ele é LI e pode ser base do $P_3(\mathbbm{R})$ pois existem ${a_0,a_1,a_2,a_3}$ Reais tais que

$a_0 + a_1(1+t) + a_2(1-t^2) + a_3(1-t-t^2-t^3) = \alpha_0 + \alpha_1 t + \alpha_2 t^2 + \alpha_3 t^3$

onde $\alpha_i$ é Real.