[Matrizes] Duvida

por **Knoner** » Dom Set 29, 2013 19:49

Olá, estou em duvida na seguinte questão:

Sejam A, B, e Mn (R) e a £ R, mostre que:

a)(A^t)^t = A
b)( $\alpha$ A)^t = $\alpha$ A^t, onde $\alpha$ ? K
c)Se n=m, (A.B)^t = B^T . A^T

por **e8group** » Seg Set 30, 2013 21:52

Item a ) Utilizando a notação $[A]_{ij} = a_{ij}$ para designar o termo geral da matriz e lembrando da definição de transposição de matrizes : $[A^t]_{ij} = [A]_{ji} = a_{ji}$ (**) , temos que
$[(A^t)^t]_{ij} = [A^t]_{ji} = [A]_{ij} = a_{ij}$ para todo $i = 1 , \hdots , m , j = 1 , \hdots , n$ o que mostra A =(A^t)^t

. No item b , utilize a definição (**) + propriedades dos números reais ,se não conseguir post . No item c , basta intercambiar a definição (**) juntamente com a definição produto de matrizes . Veja minha sugestão ,

$[(AB)^t]_{ij} = [AB]_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} \cdot b_{ki}$ . Sendo o produto $a_{jk} \cdot b_{ki}$ comutativo (pois , $a_{jk} , b_{ki}$ são números reais) e utilizando resultado do item (a) , $a_{jk} = [A^t]_{kj} , b_{kj} = [B^t]_{jk}$ . Seguindo estas dicas conseguirá concluir o exercício .

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