[Dúvida] Subespaço Vetorial de Funções

[Jhonata]

Olá pessoal, venho com mais algumas dúvidas sobre o incrível universo da álgebra linear. Bem, como não tenho a quem recorrer no fim de semana, são vocês que sempre salvam minha pele. Então, eis os problemas...

Determine se são subespaços vetoriais de F(R,R):

a) O conjunto das funções continuas;

b){f(x) = asen(x)+2, a pertence a R};

c){f(x)=ax²+b, b, a pertencem a R};

gab: Sim, não, sim
Tenho algumas deduções quanto a isso, mas não sei como provar, portanto, não sei se estou certo... Enfim, peço para que, por gentileza, se puderem me explicar do porque as respostas, ficarei grato.

Abraços!

[e8group]

a) O conjunto das funções contínuas ,de fato é um subespaço vetorial de.Pois ,

i) Existe uma função identicamente nula .

ii) Sejam funções contínuas .Então : .

iii)

b) O conjunto não é subespaço vetorial de .Pois ,tomando-se (que é um número real) temos que não existe uma função identicamente nula neste conjunto ,não satisfazendo então uma propriedade do subespaço vetorial .

c) Fica como exercício .

[e8group]

Sei que há muito tempo que respondi este tópico ,hoje vejo que há um erro em relação ao item (b), portanto não faz sentido não corrigi-ló.

Vamos mostrar que a função identicamente nula a qual denotaremos por não se exprime como independente da escolha do número .Se tivéssemos ,então resultaria , .Em particular para teríamos por outro lado .

Alternativamente , poderíamos também definir a função tal que para todo em . Nossa tarefa seria mostrar então que . Esta é uma outra forma também no meu ponto de vista .