[Algebra Linear] autovalores e autovetores

por **Angel31** » Sex Out 26, 2012 10:25

Bom dia!
Preciso de ajuda nesta questão:

Determinar os autovalores e os autovetores da seguinte treanformação linear:

T : ${R}^{3}$ $\rightarrow$ ${R}^{3},$ T (x,y,z) = (x+y,y,z)

Minha duvida é: Achei como autovalores 0. 1 e 2, está correto?
não conseguir achar os autovetores associados a esses autovalores pois todos zeravam.

Obrigada.

por **MarceloFantini** » Sex Out 26, 2012 11:13

Angel, poderia mostrar suas contas? É evidente que em algum ponto você errou, pois sempre existem autovetores não nulos associados, por definição!

Os passos para calcular são:

1) Encontre o polinômio característico: $p(x) = \det (xI - A)$ , onde

é a matriz associada à transformação linear.

2) Encontre as raízes do polinômio característico, ou seja, faça p(x) = 0

.

3) Resolva o sistema matricial $Av = \lambda v$ para cada autovalor $\lambda$ , ou equivalentemente resolva $(\lambda I - A)v = 0$ .

Você com certeza encontrará autovetores não-nulos associados.

por **Angel31** » Sex Out 26, 2012 15:12

eu fiz desta forma
$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} x & y & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 &\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
{ (1- $\lambda -\lambda +{\lambda}^{2}$ ) ( 1- $\lambda$ )}
1 -3 $\lambda$ + 3 ${\lambda}^{2}$ - ${\lambda}^{3}$
-2 + 3 $\lambda$ - ${\lambda}^{2}$ =0
resolvendo a equação achei x'= 1 e x" = 2
está correto até aqui?
Como devo prosseguir?

por **MarceloFantini** » Sáb Out 27, 2012 08:17

O polinômio característico será $p(\lambda) = (1 - \lambda)^3$ , ou seja, todas as raízes são iguais a um. Agora faça

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ .