Porque a base {1, x, x², ..., x^n} define Pn?

[Hiperbanka]

Eu tava estudando no livro Algebra Linear do Boldrini, e é um livro muito fraco. Olha, eu até entendi a matéria; se ajuda a refrescar a memória de quem já estudou A.L. funciona assim:

Para uma base definir um espaço vetorial(como R, R², etc...) ela deve possuir apenas vetores L.I. e deve ter a mesma dimensão do espaço vetorial. Caso ela seja composta de vetores L.I. mas a dimensão dela seja menor, ela definirá um subespaço vetorial.

Mas daí o livro fala que o espaço vetorial Pn(dos polinômios) é definido pela base {(1, x, x²..., x^n).
Ora, até onde eu saiba, esse espaço vetorial Pn deveria ser definido pela seguinte base de dimensão infinita
[(1, 0, 0,..., 0), (0,x,0,...,0), (0,0,x²,...0), ..., (0,0,0,...,x^n)]
Porque com esses vetores na base podemos indicar coordenadas. Se não for assim, você não vai ter coeficientes diferentes para cada grau.

Por favor, se alguém conseguir, me explica porque (1,x,x²,...,x^n) define Pn.

[Fred33]

Oi! Eu também estudo com o Boldrini e não gosto muito dele não. Meu professor indicou um bom livro pra estudar paralelamente, Álgebra Linear do David Poole.
Bem, quanto a sua dúvida... vou tentar te explicar como eu penso.
Um polinômio é um caso bem especial, ele vai ter sempre a mesma dimensão, independente do grau.
E pela definição de geradores, precisamos de um conjunto de polinômios que gere o polinômio desejado.
Considere:

Pn= ax^n + bx^n(-1) + ... + n

Temos um polinômio que é combinação linear de outros polinômios, nesse caso geral {1,...,x^(n-1), x^n}
Então, dizer que esse conjunto gera Pn é válido.

Espero que tenha ajudado.
Ah, me corrijam se estiver errado, eu também estou estudando isso ainda. =]