Olá viniciusdosreis,
Como está na resolução da questão?
Segue abaixo a minha resolução.
viniciusdosreis escreveu:b) Tem-se E=F+G se, e somente se,

Temos que provar que:
(i)

(ii)
Afirmação (i)Por hipótese, qualquer que seja a função
e em E teremos funções
f em F e
g em G tal que
e = f + g. Sendo assim, tomemos qualquer função
e em E tal que

, para todo x em

. Agora, suponha que

e tomemos um
k em

. Desse modo,
teríamos e(k)=f(k)+g(k)=0+0=0.
Mas, isso contraria a definição da função
e que escolhemos. Portanto, deve ocorrer

.
Afirmação (ii)Seja
e uma função qualquer em E. Podemos escrever
e como sendo:


Fazendo:

,

,
temos que
f está em F e
g está em G, de modo que
e=f+g. Como
e é qualquer, então temos que E=F+G.
Note que essas funções
f e
g só estão bem definidas devido a hipótese

. Sem essa hipótese, tanto a função
f quanto a função
g estaria mal definida, pois para qualquer elemento em

tanto
f quanto
g daria 0 e e(x) ao mesmo tempo, o que não pode ocorrer.
viniciusdosreis escreveu:c) Tem-se

se, e somente se,

Temos que provar que:
(i)

(ii)
Afirmação (i)Seja
e uma função em E definida por

. Sendo assim,
e está em

. Mas, por hipótese em

só temos o elemento neutro do espaço de funções E (isto é, a função n(x)=0, para qualquer x em

). Portanto,
e deve também ser o elemento neutro do espaço E. Mas, para que
e seja o elemento neutro desse espaço ele deve levar todos os valores de

em 0, o que só ocorre se

na definição de
e.
Afirmação (ii)Seja
e qualquer função em E tal que
e(x)=0 para qualquer elemento em

. Sendo assim,
e está em

. Além disso, como por hipótese

, então
e leva qualquer valor de

em 0. Portanto,
e só pode ser a função que é o elemento neutro do espaço de funções E (lembre-se que em qualquer espaço o elemento neutro é único). Logo, temos que

.
viniciusdosreis escreveu:d) Vale

se, e somente se,

.
Temos que provar que:
(i)

(ii)

Para resolver o quesito d), lembre-se que há um teorema que garante que se F e G são subespaços de um espaço E temos que:
Afirmação (i)Por hipótese,

. Portanto, sabemos pelo teorema citado acima que deve ocorrer que E = F + G e

. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que

e

. Logo, temos que

.
Afirmação (ii)Por hipótese,

. Disso segue que

e

. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que E = F + G e

. Logo, pelo teorema citado acima, temos que

.