[Juros Simples] Ajuda, por favor!

por **Ronaldobb** » Qui Fev 07, 2013 11:28

Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?

Minha resolução:

Eu usei o primeiro montante R$63.000,00 como o Capital "C" e o segundo Montante como o Montante da aplicação e diminui 13 - 8 = 5 meses e fiz a conta de juros simples normalmente, mas não achei a resposta nas alternativas! Poderiam me ajudar?

por **e8group** » Qui Fev 07, 2013 14:27

Tem gabarito ? Pensei em fazer assim , considere M_1

e

valores acumulado, soma do Capital Inicial com o juro

produzido em determinado tempo

e

,i.e., $M_1 = C(1+i\cdot t' )$ e $M_2 = C(1+i\cdot t'')$ . Dividindo M_2

por

(os C's cancelam ) , $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1+i\cdot t' }{1+i\cdot t'' }$ .Esta igualdade permite calcular a taxa

em função de M_1 , M_2 ,t'

e

Observe que : $M_1 \equiv 63.000,00 , M_2 \equiv 74.250,00, t' \equiv 8 \text{meses} , t''\equiv 13\text{meses}$

Calculei i = 0,05 ou i = 5% .

por **Ronaldobb** » Qui Fev 07, 2013 16:57

Poderia por gentileza resolvê-lo passo a passo pra mim, pois não entendi como você chegou ao resultado. Grato!

por **e8group** » Qui Fev 07, 2013 18:05

Montante não é valor acumulado, soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo ?

Isto é ,

Juros : $J(t) = C \cdot i \cdot t$ . (1)

Montante : $M = J(t) + C = C(1+i \cdot t)$ . (2)

Note que o capital

e a taxa de juros

são valores fixos ,então à medida que o tempo passa o juros (J) e o motante (M) varia .

Para facilitar as contas ,ao invés de susbstituirmos os valores fornecidos pelo enunciado na expressão (2) , vamos supor que passado

e

meses tenhamos montantes M_1

e

.

Hipótese :

$M_1(t') = C(1+ i\cdot t')$

$M_2 (t'') = C(1+ i\cdot t'')$

Disso teremos , $\frac{M_1(t')}{M_2(t'')} = \frac{C(1+i\cdot t')}{C(1+i\cdot t'')} = \frac{1+i\cdot t'}{1+i\cdot t''}$

e

ainda ,

$M_1(t')[1+i\cdot t''] = M_2(t'')[1+i\cdot t']$

$M_1(t') + i(M_1(t') \cdot t'')-M_2(t'') - i(M_2(t'') \cdot t') = 0$

Deixando o termo

em evidência ,

$M_1(t') -M_2(t'') + i[M_1(t') \cdot t'' - M_2(t'') \cdot t'] = 0$

E obtemos a seguinte fórmula ,que relaciona a taxa de juros

em função dos montantes M_1

e

.

$i = \frac{M_2(t'') - M_1(t')}{M_1(t') \cdot t'' - M_2(t'') \cdot t'}$ . (3)

Portanto basta relacionar os dados do enunciado com a fórmula obtida acima .

Deste modo : $\frac{74.250,00 - 63.000,00}{63.000,00 \cdot 13 - 74.250,00 \cdot 8} = 0,05$ ou 5 % .

OBS.: A vantagem desta fórmula é que para quaisquer exercícios desta mesma linha ,mas com montantes diferentes , a solução para

decorre da expressão (3) .

Estar correto ?

por **DanielFerreira** » Dom Fev 10, 2013 21:11

Outra forma de abordar o problema seria...

Aplicação I:

Prazo (n): 8 meses
Montante (S): R$ 63.000,00
Capital (P): P
Taxa (i): i

Sabe-se que $\boxed{S = P(1 + in)}$ , então:

$\\ S = P(1 + in) \\\\ 63000 = P(1 + 8i) \\\\ \boxed{P = \frac{63000}{1 + 8i}}$

Aplicação II:

Prazo (n): 13 meses
Montante (S): R$ 74.250,00
Capital (P): P
Taxa (i): i

$\\ S = P(1 + in) \\\\ 74250 = P(1 + 13i) \\\\ \boxed{P = \frac{74250}{1 + 13i}}$

Igualando P...

$\frac{63000}{1 + 8i} = \frac{74250}{1 + 13i}$

simplificando os numeradores por 250;

$\frac{252}{1 + 8i} = \frac{297}{1 + 13i}$

por 9;

$\\ \frac{28}{1 + 8i} = \frac{33}{1 + 13i} \\\\ 28 + 364i = 33 + 264 \\\\ 100i = 5 \\\\ i = \frac{5}{100}$

Isto é, 5% a.m

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