Desafio de Geometría - Muito Difícil

por **Guill** » Seg Jul 11, 2011 20:18

Seja ABCD um quadrado de lado 1. Seu lado BD foi prolongado e uma reta AF foi ligada ao final do prolongamento DF. Sendo EF = 1, calcule x.

por **MarceloFantini** » Seg Jul 11, 2011 21:19

Esse é um clássico, não lembro a forma de resolver mas se não me engano cai em um polinômio de quarto grau, é bem chato.

por **adauto martins** » Ter Out 14, 2014 17:41

a equaçao a ser resolvida e essa:
${x}^{2}=1-{({x}^{2})/({x+1})^{2}}$ ...q. sera o polinomio:
${x}^{4}+2{x}^{3}+{x}^{2}-2x-1=0$ ...tomamos p(x)= ${x}^{4}+2{x}^{3}+{x}^{2}-2x-1=0$
nao tem raizes racionais,pois os divisores de -1(-1,1),nao sao raizes...p(-1)=1,p(1)=1...
vamos calcular o maximo valor de x,para podermos achar o intervalo q. x pertence,e apartir dai,ver se tem raizes reais e calcula-las...x sera max. p/A(area max. do triangulo),logo...façamos ED=y,entao... ${y}=\sqrt[2]{1-{x}^{2}}$ ...
A=x.y=x. $\sqrt[2]{1-{x}^{2}}$ ...dA/dx=0 $\Rightarrow$ x=1/2...vamos estudar o intervalo[0,1/2],temos q.
p(0)=-1,p(1/2)=-31/16,logo p(0).p(1/2) $\succ0$ $\Rightarrow$ um num.par de raizes em[0,1/2]ou nenhuma raiz...sejam ${r}_{k}$ as raizes p/k=1,...,4,entao tomando o produto de (0- ${r}_{k}$ ).(1/2- ${r}_{k}$ ) $\succ0\Rightarrow$ ${r}_{k}\prec0$ ,o q. contradiz,pois os num.em [0,1/2]sao todos positivos,logo nao existem raizes em [0,1/2],tal q. p(x)=0...como x=1/2 e o max.valor q. x pode tomar,entao x=1/2 e a resposta...