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Desafio de lógica

Regras do fórum

  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Desafio de lógica

Mensagempor Twister » Qua Ago 13, 2008 21:46

Pessoal, será que alguém mata esta?? Não tem pegadinha nenhuma...
Dois homens conhecedores de lógica e extremamente rápidos em fazer cálculos mentais, encontram-se na fazenda de um terceiro matemático , também com as mesmas características dos outros dois.
Este, diz que sua fazenda tem formato retangular, com lados medindo um número inteiro de quilômetros de 2 a 62.
Ele dá um papel para o primeiro visitante onde está escrita a área da fazenda em quilômetros quadrados e outro para o segundo, com o perímetro da fazenda em quilômetros.
Segue-se então o diálogo abaixo:
Primeiro visitante diz: Eu não sei as medidas dos lados da fazenda.
Segundo visitante diz: Eu sabia que você não saberia as medidas dos lados da fazenda.
Primeiro visitante diz: Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda.
Segundo visitante diz: Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda.

Como ambos falaram a verdade, quais as medidas dos lados da fazenda?
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Molina » Qui Ago 14, 2008 21:54

Interessante o desafio. Não conhecia...
Quando chegar em casa tento resolvê-lo (se ninguém conseguir antes).

Abraços! ;-)
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Neperiano » Seg Out 06, 2008 16:55

Legal o seu desafio, eu ainda naum consegui resolve-lo.

Creio que pouquissimos, talvez ninguem consiga resolve-lo.

Quando voltar da escola, tento denovo.

Abraços
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Luiz Augusto Prado » Sáb Nov 28, 2009 21:50

Acho que consegui a resposta.
Resolvi fazendo retangulos do tipo 2x3, 2x4, 3x3, 4x5 etc...
Queria saber como equacionar este problema.

Minha solução:
o 1º tinha uma área inteira.
Esta área deveria ser multipla de 2 numeros que não sabemos qual é.
mas 2 pares de números podem gerar a mesma area.
Ele não sabe qual dos pares. 2x6=12 com perimetro 16 (1 par) ou 3x4=12 com perimetro=14 (outro par de numeros). O 1º sabe que o perimetro 16 tem outra solução 3x5 diferente de sua área, e se essa fosse sua área, o 2º não esperaria por dica, já que ele saberia automaticamente com 3x5 que a área = 15. unico perimetro permitido para esta área. Se o 2º falasse que seria natural ter dúvida, 3x4 é a solução.
Se o 2º falar que a solução é obvia, então a solucao é 2x6, já que o perimetro 16 permite 2x6 e 3x5, de forma que 3x5 seria excluida da resposta já que o 1º não teria duvidas quanto a ela.

O 1º deu a dica quando disse que tinha duvidas entre qual par:

para o 2º também existem 2 áreas possiveis para o perímetro que tem em suas mãos.
Para o perimetro = 14 existem os pares 2x5 e 3x4. Se a area fosse 10, o 1º não teria dúvidas.
Então , o 2º ouve a dica do primeiro e observa que que 3x4 permite area 12 e
descobre que o 1º espera que os lados sejam 2x6 ou 3x4. 2x5 é então excluido pois
só existe um perimetro com esta área e o 1º já saberia sem precisar falar nada, o que não ocorreu.
Sobra apenas 3x4 para o 1º, que ainda não sabe até a dica do 2º.

O 2º sabendo que a área é 12 e que os lados esperados pelo 1º são 2x6 ou 3x4
responde que ele realmente teria dúvidas sobre a área.

Agora o 1º também sabe a solução

Posso ter cometido algum erro de interpretação do texto e gostaria de confirmação desta questão.
Onde encontrou ela e como equacionaria esta questão sem precisar desenhar vários retangulos?
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Seg Nov 30, 2009 13:39

Vou tentar dar uma ajuda algébrica

Área ----> S = x*y ----> y = S/x

Perímetro ----> P = 2x + 2y -----> P = 2x + 2*(S/x) ----> Px = 2x² + 2S ----> 2x² - Px + 2S = 0

Discriminante da equação do 2º grau ----> D = b² - 4ac ----> D = (-P)² - 4*2*2S ----> D = P² - 16S

Para x ser inteiro D deve ser um quadrado perfeito ----> D = k² -----> P² - 16S = k²

(2x + 2y)² - 16*(xy) = k² ----> 4x² + 8xy + 4y² - 16xy = k² -----> 4*(x² - 2xy + y²) = k² ----> 4*(x - y)² = k²

2*(x - y) = k ----> x - y = k/2 ----> k é par

Fazendo k = 2, 4, 6, ..... teremos todas as soluções possíveis para x, y lembrando que 2 =< x =< 62 e 2 =< y =< 62

A partir daí é só seguir a lógica e indo descartando os valores de x, y que não atendem.

Por favor, prossigam a partir daí!
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Ter Dez 01, 2009 19:05

Boa noite Elcioschin!

Você é fera hein Elcio!

Estou encontrando dificuldade em entender: Para x ser inteiro D deve ser um quadrado perfeito ----> D = k² -----> P² - 16S = k²

Agradeço sua ajuda!

Até mais.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Ter Dez 01, 2009 19:32

Cleyson

A equação do 2º grau é ----> 2x² - Px + 2S = 0

Raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 ----> x = [- b + - V(b² - 4ac)]2*a -----> x = [- b + - V(D)]/2*a

Na nossa equação ----> a = 2, b = -P, c = 2S

Discriminante D da equação do 2º grau ----> D = b² - 4*a*c ----> D = (-P)² - 4*2*2S ----> D = P² - 16S

Raízes da equação do 2º grau ----> x = [- (-P) + - V(P² - 16S)]/2*2 -----> x = [P + - V(P² - 16S)]/4

Veja agora ----> x é inteiro ----> o 2º membro é inteiro

No 2º membro P é inteiro, logo V(P² - 16S) é inteiro ----> Logo, (P² - 16S) OBRIGATORIAMENTE deve ser um quadrado perfeito para a raiz quadrada ser também um número inteiro.

E ainda vou dar mais um palpite ----> [P + - V(P² - 16S)] deve ser múltiplo de 4
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Qua Dez 02, 2009 21:07

Boa noite Elcioschin!

Ainda continuo confuso com a resolução do exercício..

Consegui entender até aqui: \frac{-(-P)+\sqrt[2]{{P}^{2}-16S}}{4}

Consegui entender que o segundo membro deve ser inteiro (consequentemente, P²-16 é inteiro).

Agora, devo substituir valores para P e S que satisfazem essa condição?


Aguardo sua ajuda!

Até mais.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Qui Dez 03, 2009 11:06

Cleyson

Ótimo que vc tenha entendido o motivo de (P² - 16S) ser um quadrado perfeito.

Quanto à sua pergunta a resposta é não: veja novamente minha mensagem original, a partir da linha em que eu escrevo:

P² - 16S = k²

O que você deve fazer é dar valores para k (par) e descobrir quais valores de x, y atendem, por exemplo:

Para k = 2 ----> x - y = 1 ----> Pares (x, y) possíveis: (3, 2), (4, 3), (5, 4) ...... (62, 61)

Para k = 4 ----> x - y = 2 ----> Pares (x, y) possíveis: (4, 2), (5, 3), (6, 4) ...... (62, 60)

E assim por diante.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Ter Dez 08, 2009 18:30

Boa tarde Elcioschin!

Ainda estou confuso, e não consegui fazer mais nada *-)

Por favor, apresente sua solução!

Até mais.

Obrigado.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor andymath » Qua Mar 31, 2010 19:14

Eu não sei se a resposta tá certa, mas vamos lá

Se o primeiro, que sabe a área, não sabe quais são os lados, é porque:

- Ou a área é ? 12 (porque 11 é impossível; 10 só poderia ter lados 2 e 5; 9 só lados iguais a 3; 8 só poderia ter lados 2 e 4; 7 é impossível; 6 só poderia ter lados 3 e 2; 5 é impossível, 4 só lados iguais a 2;) ou a fatoração da área tanto não dá um produto de somente dois números primos como também não dá o produto de nenhum número não-primo por um primo ? 31. Porque se fosse um dos casos:

A < 12
A = x × y = {(2 × 2), (2 ×3), (2 × 4), (3 × 3), (2 × 5)}

* Note que 11, 7 e 5 implicariam em um dos lados medindo 1, o que é impossível pela faixa dada no problema. *

Portanto se A < 12, os lados seriam descobertos facilmente.

Já se a fatoração desse o produto de dois números primos, como a área da fazenda é obrigatoriamente o produto de dois números, o problema também seria automaticamente resolvido.

O detalhe interessante é que se, na fatoração, um dos fatores fosse ? 31, ou seja:

A/31 = um número não-primo qualquer, então também estaria resolvido o problema pq não existe nenhum número não-primo que possamos multiplicar por um primo ? 31 para encontrar valores entre 2 e 62.

Portanto, conclui-se que, quando o primeiro diz não saber quais são os lados da fazenda ele implicita a idéia de que a área é um número ? 12 formado pela multiplicação de um número primo ? 31 por um outro número não-primo qualquer.

Entretanto, o segundo não teria como prever o fato de o primeiro não estar com uma área < 12 ou com um número cuja fatoração tenha somente primos inferiores a 31, a não ser que a soma 2x+2y = 2P (perímetro), ou seja, x+y = P; indique que x e y nem são maiores que 31, isto é:

x + y ? 33

pois nesse caso x ? 33 - y (y que pode ser no mínimo 2).

Para isso (x + y) ? (3 + 4) e ? (6 + 2), ou seja ? 8 e ? 33, então:

8 ? (x + y) ? 33.

Mas quando o segundo afirma isso para o primeiro ele dá um dica, justamente que a soma está entre 8 e 33, pois essa é a única forma de o segundo poder garantir que certamente e primeiro ainda não tem os números.

O primeiro, por sua vez, só tem condições de resolver o problema se essa informação for definitiva para alguma coisa. E isso só aconteceria se o produto resultasse uma área com mais de 2 termos primos resultando em mais de uma possibilidades.

São eles, xy ? 12 e 8 ? (x + y) ? 33:

12 não serve! O primeiro até ficaria na dúvida entre x = 3 e y = 4 ou x = 2 e y = 6, mas se o perímetro fosse 14, (x + y), portanto = 7, como seria ? 8, o segundo não teria razões para suspeitar que o primeiro não soubesse quais os lados da fazenda.

13 também não serve porque é primo, logo só seria solução se um dos lados pudesse ser 1. Isso se aplica a todos os primos deste intervalo [8, 33], que são: 13, 17, 19, 23, 29, 31; nenhum destes servem pelo mesmo motivo.

14 só pode ser expresso em termos de 7 × 2, portanto se a area fosse 14, o primeiro não teria dúvidas.

15 não serve pela mesma razão que 14. O 15 também pode ser expresso sob forma de produto de 2 números primos, o que não geraria dúvidas ao primeiro matemático.

O mesmo ocorre com 21, 22, 25, 26 e 27. Todos são obtidos através do produto de 2 primos. (É só fatorar para confirmar)

Ficamos então com 16, 18, 20, 24, 28 e 30 como possíveis áreas que estariam no papel dado ao primeiro.

Contudo vejamos, 16 = (2 × 8) é um exemplo de uma possibiliadde para os valores de x e y, certo?

Porém se a área fosse 16 e 2 e 8 fossem os valores procurados, apesar de o primeiro não conseguir saber quais são os valores para x e y imediatamente, o segundo não poderia suspeitar disso.

O segundo teria um perímetro = 2(2) + 2(8) = 4 + 16 = 20, logo x + y = 10.

Então, para o segundo matemático, x e y teriam as possibilidades de uma soma que dê 10. Que seriam:

(8 + 2); (7 + 3); (6 + 4) e (5 + 5)

Convém lembrar que só a possibiliadde de x = 7 e y = 3 já faz com que o segundo não possa suspeitar que o primeiro não tem o resultado. Porque nesse caso a área seria 21 que só pode ser escrito como 7 × 3 mesmo...

Logo, buscamos um número cuja soma não possa ser escrita, na forma fatorada, com duas parcelas compostas por números primos.

Testando o 18, 20, 24 e 28, que são alguns que sobraram como possíveis, temos:

18 = 6 × 3, por exemplo, cuja soma 6 + 3 = 9; uma soma que pode ser expressa por 7 + 2, dois números primos, logo 18 não serve.

20 = 4 × 5 -> soma 9, idem o 18, não serve.

24 = 6 × 4 -> soma 10, que pode ser escrita na forma 7 + 3, primo + primo, então não serve.

Note que se escrevermos o 24 como 2 × 12 -> soma 13 tb não serve pq pode ser 7 + 5 (dois primos). Mas se imaginarmos 24 = 8 × 3 -> soma 11, essa serve!

11 não pode ser escrito como a soma de dois primos, veja:

11 = (9 + 2) ou (8 + 3) ou (7 + 4) ou (6 + 5)

Mas como o segundo não sabe qual é o valor de x e y, já descartamos o 24.

O importante, entretanto é que x + y = 11, serve!

28 = 2 × 14 -> soma 16 que pode ser x = 13 e y = 3, não serve! Mas o 28 também pode ser escrito como 4 × 7 -> soma 11, e essa serve.

Cabe aqui fazer uma análise do que já observamos, as áreas que poderiam ser dúvidas na cabeça do primeiro são {16, 18, 20, 24, 28 e 30}, entretanto essas áreas não necessariamente assinalariam para o segundo uma chance real de dúvida, depende da soma x + y que está em seu papel, e como já vimos a soma 11, geraria uma dúvida, se não houvesse outra possibilidade que excluisse o número como favorito para solução. Já descartamos 16, 18, 20, 24 e 28 por esses motivos expostos. Vejamos o 30.

O 30 pode ser escrito como;

(6 × 5) ou (2 × 15)

em um caso soma 11 e, como já vimos, é um bom indício, pois serve.

No outro caso a soma é 2 + 15 = 17, então:

17 = (2 + 15) ou (14 + 3) ou (13 + 4) ou (12 + 5) ou (11 + 6) ou (10 + 7) ou (9 + 8)

Bem, como nenhuma dupla de parcelas é composta só por primos, então a soma 17 também serve!!!

Então a área no papel do primeiro é 30 e a soma no papel do segundo é 17. Por quê?

Porque como o primeiro disse, "Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda" é porque ele sabia que a única maneira de x e y serem somados em parcelas que dessem a Alberto a informação que Rodrigo não poderia saber as medidas dos lados da fazenda era se x e y só pudessem ser expressos sob somas que nunca seriam formadas por duas parcelas primas. E apesar de tanto o 11 quanto o 17 serem somas que apresentam tal propriedade, o 17 é a única apresenta parcelas que quando viram fatores geram números que podem ser escritos sempre como somas de não primos.

No caso do 11 = (9 + 2), serve, mas (9 × 2) = 18, já vimos, não serve.
(8 + 3), idem, serve, mas (8 × 3) = 24, que não serve também. Com (7 + 4), o mesmo ocorre, 28, não serve como área. Somente x= 6 e y= 5 serve como soma e como área, então o segundo já saberia as medidas antes do primeiro. Mas como o segundo só disse "Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda" depois que o primeiro disse isso, é porque dos resultados possíveis, mais de um resultava em uma área duvidosa.

Para provar, analisaremos o 17:

(15 + 2) -> serve e (15 × 2) = 30 -> serve
(14 + 3) -> serve e (14 × 3) = 42 -> serve também pois é impossível determinar os lados com essa área. Já com a soma = 17, fica possível.
(13 + 4), (12 + 5), (11 + 6), (10 + 7) e (9 + 8); o mesmo ocorre.

(13 × 4) = 52, (12 × 5) = 60, (11 × 6) = 66, (10 × 7) = 70 e (9 × 8) = 72; faz com que fique impossível saber sem saber que a soma é 17.

Portanto, finalmente, x = 15 e y = 2.

Resposta: A área da fazenda é 30, o perímetro é 34 e os lados são 2 km e 15 km.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D