Questões da UFRGS

por **Neperiano** » Qua Fev 11, 2009 18:32

Ola

Como prometi vou postar aqui algumas questões do Vestibular 2008 da UFRGS, terceiro melhor do Brasil, cuja prova de Matemática é considerada a mais Dificel.

Ai vai:

1 - O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,
(A) 15.
(B) 20.
(C) 25.
(D) 40.
(E) 80.

2 - Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$0,05 o minuto e mais R$0,10 da taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o preço por segundo correspondia a do preço por minuto.
Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máximo, de
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.

3 - Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 30.

4 - Numa seqüência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior.

A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa seqüência é
(A) 1023.
(B) 1024.
(C) 2047.
(D) 2048.
(E) 4096.

5 - O polinômio p(x)= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1

tem
(A) apenas duas raízes reais distintas.
(B) apenas duas raízes positivas.
(C) todas as raízes positivas.
(D) quatro raízes iguais.
(E) quatro raízes distintas.

6 - Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x) = 2 sen x e g(x) = 16 - x^2

e num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x) = g(x)é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.

por **Molina** » Sáb Fev 14, 2009 05:11

Boa noite, Maligno.

Como o pessoal aqui não anda com muito tempo para resolver essas questões, vou postar a solução (de todas que eu conseguir resolver):

1) Essa questão te induz a pensar que duplicando a aresta do cubo a área da superfície duplicará também. Isto não é verdade. Neste caso um cubo de 40cm de aresta tem superfície de 9600cm² (custando R$ 10,00) e um cubo de 80cm de aresta tem superfície de 38400cm², que é o quádruplo de 9600cm², ou seja, o valor deve ser multiplicado por 4 também. Com isso concluimos que custará R$ 40,00.

2) Verificar quanto é o gasto por segundo dos dois modos de comunicação:
Telefone = 1,58333 centavos por minuto
Internet = 0,08333 centavos por minuto (porém pága-se 10 centavos da taxa)
Ou seja, utilizando 1 segundo o telefone eu gastaria apenas 1,58333 centavos e utilizando 1 segundo a internet eu gastaria 10,08333. O maior número que posso multiplicar 1,58333 para ser menor que 10,08333 é 6:
1,58333 * 6 = 9,49998 < 10,08333
1,58333 * 7 = 11,08331 > 10,08333

3) Um hexágono regular possui 3 diagonais. A diagonal de um hexágono regular é 2 vezes o tamanho do raio de um circulo circunscrito nesse polígono. O lado de um hexágono regular é igual ao raio de um circulo circunscrito nesse hexágono: LADO = RAIO (formando 6 triângulos equiláteros dentro do hexágono).
Lado = 1 $\rightarrow$ Raio = 1 $\rightarrow$ Diagonal = 2 $\rightarrow$ 2² + 2² + 2² = 12

4) Primeiramente quando li achei que seria o problema mais difícil dessa lista. Mas não, é bem simples: Começando pelo primeiro quadrado de lado 1, tem-se área igual a 1 também. Lembre-se da fórmula da diagonal do quadrado, dada por $D = \ell\:\sqrt[]{2}$ . Logo você percebe que a área do segundo quadrado é 2, do terceiro é 4, do quarto é 8, ... , caindo numa PG de razão 2. Usando a fórmula da soma de uma PG finita chega-se ao resultado de 1023.

5) :?:

6) Construi o gráfico das duas, e se não errei na contrução deles eles terão apenas 2 pontos onde f(x) = g(x).

Abraços! :y:

por **FilipeCaceres** » Sex Mai 13, 2011 01:24

Considerando que x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1

seja

então é fácil perceber que:

x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4+1=(x+1)^4

Portanto,as quatro raízes iguais.

Resposta: $\text{Letra D}$ .

Abraço.

por **rcompany** » Qui Fev 21, 2019 23:21

1 - O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,
(A) 15.
(B) 20.
(C) 25.
(D) 40.
(E) 80.

$\text{Seja }a\text{ a aresta do cubo: a superf\'icie do cubo \'e }6\times a^2 \text{ (as 6 faces do cubo)}$
$\text{ e a superf\'icie du cubo de aresta }2a\text{ \'e }6\times (2a)^2=24a^2$
$\dfrac{24a^2}{6a^2}=4 \text{ ou seja o custo \'e 4 vezes maior, 40 reais}$

2 - Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$0,05 o minuto e mais R$0,10 da taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o preço por segundo correspondia a do preço por minuto.
Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máximo, de
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.

$\text{Sejam }C_t\text{ e }C_i\text{ os custos da telef\'onica e da internet e } s\text{ a dura\c c\~ao em segundos}\\ C_t=\dfrac{0,95}{60}\cdot s\\ C_i=0,10+\dfrac{0,05}{60}\cdot s\\ C_t\leq C_i\Leftrightarrow \dfrac{0,95}{60}\cdot s \leq 0,10+\dfrac{0,05}{60}\Leftrightarrow s\leq \dfrac{0,10 \times 60}{0,90}=\dfrac{20}{3}=6,66...$
$\text{A resposta \'e 6 segundos}$

3 - Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 30.

$\text{Uma diagonal \'e uma reta unindo dois v\'ertices n\~ao consecutivos de um pol\'igono:}\\ \text{um hex\'agono de lado }a \text{ tem 9 diagonais:}\\ \text{3 delas unem v\'ertices opostos e tem comprimento de } 2a\\ \text{ e as outras 6 tem comprimentos de }2a\sin{\dfrac{\pi}{3}}=2a\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} \\\text{ j\`a que cada angulo interior de um hex\'agono regular vale } \dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$
$\text{A soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais \'e igual \`a :}\\ 3(2a^2)+6(a\sqrt{3})^2=12a^2+18a^2=30a^2,\;=30 \text{ se }a=1$

4 - Numa seqüência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior.

A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa seqüência é
(A) 1023.
(B) 1024.
(C) 2047.
(D) 2048.
(E) 4096.

$\text{Sejam }(a_n), (l_n), (d_n) \text{ as sequencias dos comprimentos das \'areas, dos lados e das diagonais}$

$\text{Temos por premissa :}l_{n+1}=d_n$

$\left { \begin{array}{rl}a_{n+1}&=(l_{n+1})^2\\&=(d_n)^2=(\sqrt{2(l_n)^2})^2=2(l_n)^2\\&=2a_n \end{array}$

$\left \{ \begin{array}{l} a_1=1\\a_{n+1}=2a_n \end{array} \text{ sequencia geom\'etrica de primeiro termo 1 e raz\~ao 2}$

$\sum_{i=1}^{10} a_i=1\times \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=2^{10}-1=1023$

5 - O polinômio p(x)= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1

tem
(A) apenas duas raízes reais distintas.
(B) apenas duas raízes positivas.
(C) todas as raízes positivas.
(D) quatro raízes iguais.
(E) quatro raízes distintas.

$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1\Leftrightarrow x^2(x^2+4x+6)=-3$

$\text{Resolvendo }q(x)=x^2+4x+6=0\text{ temos }\Delta=16-4\times 6\times 1 <0\text{ e ent\~ao }x^2+4x+6 \text{ n\~ao tem ra\'izes e como }q(0)=6>0,\;\forall x \in \mathbb{R},\;q(x)>0$
$\left \begin{array}{l}x^2\geq 0\\q(x)>0 \end{array} \right \}\Rightarrow x^2.q(x)\geq 0\Rightarrow (x^2.q(x)=-3) \text{ \'e imposs\'ivel}$

Mas achei o texto original e aí fica mais fácil ainda:
Imagem

$x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0\Leftrightarrow (x+1)^4=0\Leftrightarrow x=-1$

6 - Traçando-se os gráficos das funções definidas por $f(x) = 2 \sin{x}$ e g(x) = 16 -x^2

e num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x) = g(x)é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.

$\phi(x)=x^2+2\sin{x}-16\\ \phi'(x)=2x+2\cos{x}\\ \phi''(x)=2-2\sin{x} \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R},\;\phi''(x)\geq 0 \; \Rightarrow \phi' \text{ \'e crescente}\\ \left\!\!\!\!\begin{array}{r}\phi'\text{estr.crescente, continua sobre }[-\frac{\pi}{2};0]\\ \phi'(-\frac{\pi}{2})=-\pi\\ \phi'(0)=2 \end{array}\!\!\!\right\}\!\!\!\Rightarrow \!\!\exists\alpha\!\!\in ]\frac{-\pi}{2};0[\text{\'unico tal que }\phi'(\alpha)=0 \\ \phi \text{ decrescente em }]-\infty;\alpha]\text{ e crescente em }[\alpha;+\infty[\\ \phi'(\alpha)=0\Rightarrow \alpha=-\cos{\alpha}\Rightarrow \phi(\alpha)=\cos^2{\alpha}+2\sin{\alpha}-16=-\sin^2{\alpha}+2\sin{\alpha}-15\\ \text{Seja }t=\sin{\alpha}\text{ vemos que }-t^2+2t-15=0 \text{ n\~ao tem ra\'izes e } -t^2+2t-15<0\\ \text{ou seja }\phi(\alpha)<0$

$\left \begin{array}{r}\phi\text{ continua sobre }\mathbb{R}\\ \phi\text{ estritamente decrescente sobre }]-\infty;\alpha[\\ \phi\text{ estritamente crescente sobre }]\alpha;+\infty[\\ \phi(-2\pi)>0 ,\phi(\alpha)<0,\phi(2\pi)>0 \end{array}\right \} \Rightarrow\left \{ \begin{array}{l}\exists x_1 \text{\'unico } \in ]-2\pi;\alpha[ \text{ tal que } \phi(x_1)=0\\ \exists x_2 \text{\'unico } \in ]-2\pi;\alpha[ \text{ tal que } \phi(x_2)=0\\ \forall x < -2\pi \text{ ou }x>2\pi,\;\phi(x)>0 \end{array}\right$

$f(x) = g(x) \text{ tem duas ra\'izes \'unicas em }\mathbb{R}$

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