Circulos Tangentes a Duas Retas

por **nakagumahissao** » Qua Abr 04, 2012 20:13

Na figura abaixo temos uma sequência de círculos tangentes a duas retas. O raio do primeiro círculo é 1 e o raio do segundo é r < 1. Cada círculo tangencia externamente o círculo anterior. Determine a soma dos raios dos n primeiros círculos.

http://learning.freeiz.com/?p=808

Não consegui resolver esta questão de jeito nenhum. Poderiam me auxiliar por favor?

por **Guill** » Ter Mai 01, 2012 14:57

Consideremos ${r}_{1};{r}_{2};...;{r}_{n}$ os n primeiros raios das circunferências, onde ${r}_{1} = 1$ . Se ligarmos o vértice ao centro do outro círculo, teremos uma reta que corta todos os centros das cricunferências (Semelhança de Triângulos).

Se descermos uma reta do centro da primeira circunferência perpendicularmente até o ''chão'', essa reta terá comprimento 1. Façamos o mesmo com todas as circunferências, e tracemos, a partir do centro anterior, uma reta perpendicular ao raio da anterior (o raio que encosta no chão), fechando triângulos retângulos. Pelo teorêma de Pitágoras (para dois raios hipotéticos):

$({r}_{x}+{r}_{x-1})^2 = ({r}_{x}-{r}_{x-1})^2 + b^2$

$b^2=4.{r}_{x}.{r}_{x-1}$

$b=2.\sqrt[]{{r}_{x}.{r}_{x-1}}$

Agora é simples. Basta calcular a soma pelo Teorema de Pitágoras no triângulo maior:

$\left({r}_{1}+{r}_{2}+...+{r}_{n} \right)^2=({r}_{1})^2+\left(2.\sum_{p=1}^{n} \sqrt[]{{r}_{p}.{r}_{p-1}} \right) ^2$

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