Indução Finita - Elementos da sequência

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Indução Finita - Elementos da sequência

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Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor Cleyson007 » Qui Mar 22, 2012 14:57

Boa tarde a todos!

Prove que todos os elementos da sequência 12, 102, 1002, 10002, ... são divisíveis por 6.

Obs.: Utilize o Princípio da Indução Finita.

Agradeço se alguém puder me ajudar.

Até mais.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Qui Mar 22, 2012 19:12

A sequência, então, é assim:

10^1 + 2,
10^2 + 2,
10^3 + 2, ...,
10^k + 2, ...,
10^n + 2, ....

O primeiro termo, 12, é divisível por 6.

A hipótese é de que 10^n + 2 é divisível por 6, isto é, 10^n+2 = 6p ( p um número natural).

Isso ajuda?
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor Cleyson007 » Qui Mar 22, 2012 22:57

Boa noite Fraol!

E como fica a condição de (n+1), não devemos prová-la?

Fico aguardando.

Até mais.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Qui Mar 22, 2012 23:26

Boa noite Cleyson007,

Sim.

Um caminho possível seria esse: Assumir que 10^{n+1} + 2 é, também, múltiplo de 6, isto é:

10^{n+1}+2 = 6q, então 10.10^{n}+2 + 18 = 6q + 18 \iff 10.(10^{n}+2) = 6(q + 3).

Agora, como diria um grande professor aqui do forum, é só terminar o exercício.

Abraço.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 23, 2012 07:50

Fraol, você fez do modo errado. Sabendo que 10^n + 2 = 6q, então 10 \cdot (10^n +2) = 6q = 10^{n+1} +20 = 6k = 10^{n+1} + 2 + 18 = 6k. Daí 10^{n+1} +2 = 6k - 18 = 6t, logo múltiplo de 6.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Seg Mar 26, 2012 19:55

Desculpem a demora,

MarceloFantini, por favor, você quis dizer que eu não parti da hipótese para mostrar a tese, é isso?
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mar 27, 2012 08:35

Sim, você partiu da tese. Ao afirmar que 10^{n+1} +2 = 6q você está dizendo que a tese é verdadeira.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Ter Mar 27, 2012 10:25

Ok. Grato.
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