Sequência recursiva da média de dois números

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Sequência recursiva da média de dois números

Mensagempor ant_dii » Qua Jun 29, 2011 20:40

Pessoal, Boa noite,
Comecei aqui hoje, porque tenho uma questão que ta me complicando a vida. já fazem três dias batalhando e tentando e me parece ser bem simples mais ainda não encachei a uma idéia, aliás uma boa me ocorreu mas ainda não ajudou.
A questão é a seguinte:

A sequência \{a_n\} é definida recursivamente pela equação a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} para n\geq 3, onde a_1 e a_2 podem ser quaisquer numeros reais. Encontre \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n em termos de a_1 e a_2.

Em já tentei fazendo o seguinte (a fórmula que me foi mais útil até o momento mas daí em diante não consegui mais nada):

Dado que a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} e a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}, pode-se fazer o seguinte:

a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} - \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}= \frac{a_{n}-a_{n-2}}{2}.

Usando isso, temos que
a_4-a_3=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_1}{2}=\frac{a_2 - a_1}{4}

a_5-a_4=\frac{a_4-a_2}{2}=\frac{\frac{a_3+a_2}{2}-a_2}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_2}{4}=\frac{a_1 - a_2}{8}
\vdots
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{(a_2-a_1)}{2^{n-1}}


Foi onde parei. Antes deste resultado fiz muitas outras tentativas, mas o que me pareceu levar a alguma coisa é este resultado. Pórem, não sei o que fazer agora para chegar ao limite de a_n pedido.
Só os loucos sabem...
ant_dii
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas

Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.

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