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[série de Euler / problema da Basiléia] Série de Fourier

[série de Euler / problema da Basiléia] Série de Fourier

Mensagempor Burnys » Qua Jul 16, 2008 14:34

Seja g(x) = 1 - {x}^{2}, -1\leq x \leq 1, periódica de período 2.
Sabendo que a série de Fourier de g (x) é:


\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos n*\pi*x

a) Mostre que

\frac{{\pi}^{2}}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...

Alguém poderia me ajudar?
Att.,
Rodrigo
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Re: Série de Fourier

Mensagempor admin » Qua Jul 16, 2008 23:38

Olá Rodrigo, boa noite, seja bem-vindo!

Este problema é bem interessante!
Em meu curso de graduação não cheguei a ver séries de Fourier, pois o assunto estava fora do escopo. Em Análise e Cálculo II, o mais próximo que cheguei foram as séries de Taylor e Maclaurin.
Entretanto, estudei um pouco sobre o assunto para tentar ajudá-lo.

1ª PARTE - CURIOSIDADE

Em primeiro lugar, talvez você já saiba, mas quero comentar uma curiosidade histórica que li.
Ver bibliografia:
5 - EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.


Esta expressão,
1+\frac14+\frac19+\frac{1}{16}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}
também é chamada de série de Euler, pois conforme registros históricos, em carta de 1673, Oldenburg consultou Leibniz sobre a soma desta série:

1+\frac14+\frac19+\frac{1}{16}+ \cdots

Leibniz não soube responder e, em 1689, Jakob Bernoulli confessou que também não sabia a resposta.
Na época, Euler, a partir de observações sobre polinômios finitos, assumiu que suas propriedades também valiam para séries infinitas.

Partindo desta série de Taylor (ou de Maclaurin - um caso particular da série de Taylor),

senx = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

o argumento de Euler iniciou-se dividindo ambos os membros por x:

\frac{senx}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots

Como as raízes de \frac{senx}{x} ocorrem exatamente quando x = n \cdot \pi, com n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots, ele escreveu a série infinita como um produto de fatores lineares dados por suas raízes, assim como fazemos com polinômios finitos, veja:

\frac{senx}{x} =
\left( 1 - \frac{x}{\pi}\right)
\left( 1 + \frac{x}{\pi}\right)
\left( 1 - \frac{x}{2\pi}\right)
\left( 1 + \frac{x}{2\pi}\right)
\left( 1 - \frac{x}{3\pi}\right)
\left( 1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots =

=
\left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)
\left( 1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)
\left( 1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots

Se nós fizéssemos a distributiva deste produto, apenas pensando nos termos x^2, perceberíamos que o coeficiente de x^2 em \frac{senx}{x} é:

- \left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Mas, na série infinita original, na expansão de \frac{senx}{x}, o coeficiente de x^2 é -\frac{1}{3!} = -\frac16. Então, estes coeficientes são iguais:

-\frac16 = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Daqui, multiplicando ambos os membros por -\pi^2, obtemos o resultado procurado da soma:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Este problema ficou conhecido como "problema da Basiléia" (Basel problem).
Basiléia é uma cidade suíça, onde nasceram Euler e a família Bernoulli.

2ª PARTE - O SEU PROBLEMA

Rodrigo, o assunto comentado anteriormente sobre Euler pode ser facilmente encontrado na internet, além da bibliografia e outros livros.
Você viu que partindo da série de Taylor também podemos mostrar o resultado da soma.

De qualquer forma, o seu problema sugere o uso de uma série de Fourier.
Um exercício também interessante seria estudar como obter aquela expressão da série dada, eis a teoria sobre séries de Fourier: obter os coeficientes de Fourier, analisar funções pares e ímpares, integrar etc.
Adicionalmente, uma visão resumida sobre a "idéia" deste assunto é: reescrever funções periódicas através da soma infinita de senos e cossenos! Esta soma também pode ser escrita utilizando exponenciais de números complexos, considerando a famosa fórmula de Euler: e^{ix} = cosx + isenx.

Enfim, voltando para o seu problema, eu quis pensar que aquele dado da séria de Fourier tinha que facilitar e não dificultar!
Um detalhe: vale colocar parênteses aqui para evitar confusão:

A série de Fourier de g(x) é:
\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi x)


O primeiro passo é destacar que o que queremos mostrar também pode ser escrito assim (como escrito no final da primeira parte):

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Apenas estamos reescrevendo a soma dos termos da série através do símbolo somatório.

Pois bem, o segundo passo é "enxergar" a função periódica g(x).
Caso não visualize mentalmente, faça o gráfico no papel!
Apenas destacando o domínio \left[ -1, 1 \right], temos um trecho de uma parábola côncava para baixo, com raízes em x=-1 e x=1. Este trecho da função se repete periodicamente em toda a extensão do domínio!

Esta etapa é importante porque vemos que a função é par. E entendemos o motivo de não haver o coeficiente b de Fourier na expressão dada (pois a função seno é impar, o produto resultante também, logo a integral é nula).

Nesta etapa analisando g, constatamos que g(1) = 0 (vamos utilizar este dado depois).

Como terceiro passo, precisamos comparar o dado que temos com o que queremos mostrar.

Olhando este somatório, percebemos uma série alternada:

g(x) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi x)

Veja em destaque, sem o fator cosseno:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots

Pensando: a soma que buscamos é bem parecida, exceto pela alternância!
O fator cosseno está lá para nos ajudar, desde que usemos o dado implícito g(1) = 0, pois quando x=1, cos(n\pi) também vai alternar entre -1 e 1.

Vamos reescrever g, quando x=1:

g(1) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi)

Agora, considerando o fator do cosseno alternando entre -1 e 1, vamos observar como está o somatório:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} - \cdots

Todos os termos ficaram negativos! Então, vamos colocar -1 em evidência:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \right)

Veja o que temos: a nossa soma apareceu!

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right)

Agora, basta substituir em g(1):

g(1) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}} \cdot \left( - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right)


Como g(1) = 0, temos:

\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}} \cdot \left( - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right) = 0

\frac{2}{3} - \frac{4}{{\pi}^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 0

Agora basta você isolar o somatório e terá mostrado que o resultado da soma é \frac{\pi^2}{6}.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!
Fábio Sousa
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Re: [série de Euler] Série de Fourier

Mensagempor Burnys » Qui Jul 17, 2008 00:20

Boa Noite, Fábio! Obrigado pelo apoio! Eu também estudei as séries de Taylor e Maclaurin em Cálculo II. Dei azar e peguei a última turma que teve Equações Diferenciais Ordinárias como disciplina obrigatória na grade de Engenharia de Produção da UFOP. Já que eles também perceberam que esse assunto está fora de escopo para a formação de um Engenheiro e resolveram tirá-la da grade (Antes tarde do que nunca!). Eu tenho que estudar mais um pouco e ainda fazer uma prova final.
Valeu!
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Re: [série de Euler] Série de Fourier

Mensagempor Burnys » Qui Jul 17, 2008 00:24

Só fazendo uma colocação: A disciplina que saiu da Grade de Eng de Produção não é Equações Diferenciais Ordinárias (essa ainda está na Grade!) e sim, Equações Diferenciais Parciais.
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Re: [série de Euler] Série de Fourier

Mensagempor admin » Qui Jul 17, 2008 00:33

Olá Rodrigo.

Eu também cursei Equações Diferenciais Ordinárias, mas como optativa.
Comente qualquer dúvida sobre a resolução do problema.

Um abraço!
Fábio Sousa
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.