[série de Euler / problema da Basiléia] Série de Fourier

por **Burnys** » Qua Jul 16, 2008 14:34

Seja g(x) = $1 - {x}^{2}$ , $-1\leq x \leq 1$ , periódica de período 2.
Sabendo que a série de Fourier de g (x) é:

$\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos n*\pi*x$

a) Mostre que

$\frac{{\pi}^{2}}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...$

Alguém poderia me ajudar?
Att.,
Rodrigo

por **admin** » Qua Jul 16, 2008 23:38

Olá Rodrigo, boa noite, seja bem-vindo!

Este problema é bem interessante!
Em meu curso de graduação não cheguei a ver séries de Fourier, pois o assunto estava fora do escopo. Em Análise e Cálculo II, o mais próximo que cheguei foram as séries de Taylor e Maclaurin.
Entretanto, estudei um pouco sobre o assunto para tentar ajudá-lo.

1ª PARTE - CURIOSIDADE

Em primeiro lugar, talvez você já saiba, mas quero comentar uma curiosidade histórica que li.

Ver bibliografia:
5 - EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

Esta expressão,
$1+\frac14+\frac19+\frac{1}{16}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}$
também é chamada de série de Euler, pois conforme registros históricos, em carta de 1673, Oldenburg consultou Leibniz sobre a soma desta série:

$1+\frac14+\frac19+\frac{1}{16}+ \cdots$

Leibniz não soube responder e, em 1689, Jakob Bernoulli confessou que também não sabia a resposta.
Na época, Euler, a partir de observações sobre polinômios finitos, assumiu que suas propriedades também valiam para séries infinitas.

Partindo desta série de Taylor (ou de Maclaurin - um caso particular da série de Taylor),

$senx = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

o argumento de Euler iniciou-se dividindo ambos os membros por

:

$\frac{senx}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

Como as raízes de $\frac{senx}{x}$ ocorrem exatamente quando $x = n \cdot \pi$ , com $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$ , ele escreveu a série infinita como um produto de fatores lineares dados por suas raízes, assim como fazemos com polinômios finitos, veja:

$\frac{senx}{x} = \left( 1 - \frac{x}{\pi}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi}\right) \left( 1 - \frac{x}{2\pi}\right) \left( 1 + \frac{x}{2\pi}\right) \left( 1 - \frac{x}{3\pi}\right) \left( 1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots =$

$= \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right) \left( 1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \left( 1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots$

Se nós fizéssemos a distributiva deste produto, apenas pensando nos termos x^2

, perceberíamos que o coeficiente de x^2

em $\frac{senx}{x}$ é:

$- \left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Mas, na série infinita original, na expansão de $\frac{senx}{x}$ , o coeficiente de x^2

é $-\frac{1}{3!} = -\frac16$ . Então, estes coeficientes são iguais:

$-\frac16 = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Daqui, multiplicando ambos os membros por $-\pi^2$ , obtemos o resultado procurado da soma:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Este problema ficou conhecido como "problema da Basiléia" (Basel problem).
Basiléia é uma cidade suíça, onde nasceram Euler e a família Bernoulli.

2ª PARTE - O SEU PROBLEMA

Rodrigo, o assunto comentado anteriormente sobre Euler pode ser facilmente encontrado na internet, além da bibliografia e outros livros.
Você viu que partindo da série de Taylor também podemos mostrar o resultado da soma.

De qualquer forma, o seu problema sugere o uso de uma série de Fourier.
Um exercício também interessante seria estudar como obter aquela expressão da série dada, eis a teoria sobre séries de Fourier: obter os coeficientes de Fourier, analisar funções pares e ímpares, integrar etc.
Adicionalmente, uma visão resumida sobre a "idéia" deste assunto é: reescrever funções periódicas através da soma infinita de senos e cossenos! Esta soma também pode ser escrita utilizando exponenciais de números complexos, considerando a famosa fórmula de Euler: $e^{ix} = cosx + isenx$ .

Enfim, voltando para o seu problema, eu quis pensar que aquele dado da séria de Fourier tinha que facilitar e não dificultar!
Um detalhe: vale colocar parênteses aqui para evitar confusão:

A série de Fourier de g(x) é:
$\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi x)$

O primeiro passo é destacar que o que queremos mostrar também pode ser escrito assim (como escrito no final da primeira parte):

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Apenas estamos reescrevendo a soma dos termos da série através do símbolo somatório.

Pois bem, o segundo passo é "enxergar" a função periódica g(x).
Caso não visualize mentalmente, faça o gráfico no papel!
Apenas destacando o domínio $\left[ -1, 1 \right]$ , temos um trecho de uma parábola côncava para baixo, com raízes em x=-1

e

. Este trecho da função se repete periodicamente em toda a extensão do domínio!

Esta etapa é importante porque vemos que a função é par. E entendemos o motivo de não haver o coeficiente b de Fourier na expressão dada (pois a função seno é impar, o produto resultante também, logo a integral é nula).

Nesta etapa analisando g, constatamos que g(1) = 0

(vamos utilizar este dado depois).

Como terceiro passo, precisamos comparar o dado que temos com o que queremos mostrar.

Olhando este somatório, percebemos uma série alternada:

$g(x) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi x)$

Veja em destaque, sem o fator cosseno:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots$

Pensando: a soma que buscamos é bem parecida, exceto pela alternância!
O fator cosseno está lá para nos ajudar, desde que usemos o dado implícito g(1) = 0

, pois quando x=1

, $cos(n\pi)$ também vai alternar entre

e

.

Vamos reescrever g, quando x=1

:

$g(1) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}}cos( n\pi)$

Agora, considerando o fator do cosseno alternando entre

e

, vamos observar como está o somatório:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} - \cdots$

Todos os termos ficaram negativos! Então, vamos colocar

em evidência:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \right)$

Veja o que temos: a nossa soma apareceu!

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n+1}}{{n}^{2}} cos(n\pi) = - \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right)$

Agora, basta substituir em g(1)

:

$g(1) = \frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}} \cdot \left( - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right)$

Como g(1) = 0

, temos:

$\frac{2}{3}+\frac{4}{{\pi}^{2}} \cdot \left( - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right) = 0$

$\frac{2}{3} - \frac{4}{{\pi}^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 0$

Agora basta você isolar o somatório e terá mostrado que o resultado da soma é $\frac{\pi^2}{6}$ .

Espero ter ajudado.
Bons estudos!

por **Burnys** » Qui Jul 17, 2008 00:20

Boa Noite, Fábio! Obrigado pelo apoio! Eu também estudei as séries de Taylor e Maclaurin em Cálculo II. Dei azar e peguei a última turma que teve Equações Diferenciais Ordinárias como disciplina obrigatória na grade de Engenharia de Produção da UFOP. Já que eles também perceberam que esse assunto está fora de escopo para a formação de um Engenheiro e resolveram tirá-la da grade (Antes tarde do que nunca!). Eu tenho que estudar mais um pouco e ainda fazer uma prova final.
Valeu!
Rodrigo

por **Burnys** » Qui Jul 17, 2008 00:24

Só fazendo uma colocação: A disciplina que saiu da Grade de Eng de Produção não é Equações Diferenciais Ordinárias (essa ainda está na Grade!) e sim, Equações Diferenciais Parciais.
Rodrigo

por **admin** » Qui Jul 17, 2008 00:33

Olá Rodrigo.

Eu também cursei Equações Diferenciais Ordinárias, mas como optativa.
Comente qualquer dúvida sobre a resolução do problema.

Um abraço!

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