Dúvida em exercício de PAG!

por **Fernanda** » Qui Jul 03, 2008 18:20

Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 18:36

1: 7
2: 10
3: 13
4: 16
5: 19
6: 22
7: 25
de tres em tres

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 18:37

dai agora eh soh soma os 20.

por **Fernanda** » Qui Jul 03, 2008 18:38

mas o volume de um prisma é calculado por 'area da base*altura', nao somando os dois como voce fez...

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 18:40

vou refazer espere

1: 12
2: 18

por **Fernanda** » Qui Jul 03, 2008 18:41

tranquilo...
mas pq 18 se a razao da PG é 1/2?
nao deveria ser 8?

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 20:48

Cara eu não sei calcular isso porque não aprendi mas, o que tu tenque calcular eh o seguinte:
Calcula o primeiro prisma. Depois, a altura do primeiro prisma tu faz mais 1.
E a area do primeiro prisma tu faz vezes 1/2.
Dai tu soma essas duas e vai ser o valor do segundo prisma.
Para o terceiro:

Pega a area do segundo prisma e faz vezes 1/2.
Pegue a altura do segundo prisma e faz mais 1.

E assim por diante

por **Molina** » Qui Jul 03, 2008 20:56

Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''

Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso

bom estudo!

por **Fernanda** » Qui Jul 03, 2008 21:34

molina escreveu:
Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''

Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso

bom estudo!

até ai eu consegui fazer, mas eu nao queria calcular um por um, entende, pois até chegar no 20º prisma vai ter (1/2) elevado a quase 20, entao fica muito dificil; alem do mais, tem um jeito mais facil pra calcular isso, com uso de formulas e tal, só que o problema é que eu nao sei como faz por esse metodo.
Enfim, obrigada molina!

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 22:20

esqueçe

por **Neperiano** » Qui Jul 03, 2008 22:29

Essa eh a formula.
n
sn=a1.(q -1)
q - 1

Sn= soma dos termos
A1= primeiro termo
q= razão( divide a2 por a1) 8 dividido por 12 = o,6667

por **admin** » Sex Jul 04, 2008 05:01

Olá Fernanda, seja bem-vinda!
Olá Maligno e Molina!

Permitam meus comentários na discussão.
Como o Maligno escreveu, bastaria calcular os volumes, um a um, e somar.
Mas, com razão, a Fernanda não quer ter este trabalho todo, fazendo as contas somando base X altura.
O Molina bem sugere que deve haver algo a mais na seqüência!

Pois bem, em primeiro lugar devo dizer que esta preocupação, em geral excessiva, com "fórmulas" é prejudicial no entendimento dos problemas.
Em muitos casos aplicamos sim fórmulas, mas antes precisamos entender a resolução. Muitas vezes, em vários exercícios, percebo que os alunos "sabem" alguma fórmula relacionada ao assunto, mas não sabem resolver o problema!
Neste exemplo, é evidente que há uma progressão aritmética e uma geométrica relacionadas. Mas também é fácil perceber que não basta saber as "fórmulas" da soma de termos de cada uma. Utilizaremos as tais fórmulas para facilitar? Talvez, vamos ver! Mas, somente após entendermos como esta seqüência se comporta. Vamos discutir esta idéia!

Embora estejamos procurando a soma dos volumes, no momento não são importantes os "resultados" dos volumes, mas sim, as operações que estão sendo feitas.
Para visualizarmos, vamos considerar alguns termos - os volumes:

$V_1 = 4 \cdot 3$

Como eu disse, não nos interessa aqui que V_1

é igual a

.
Vamos ao próximo termo!

$V_2 = 4\cdot \frac12 \cdot (3 + 1)$

Mais um:
$V_3 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1)$

Outro:
$V_4 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1)$

E outro:
$V_5 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1+1)$

Acho que já podemos "generalizar" o volume, ou seja, encontrar o termo geral, vejam:

$V_5 = 4 \cdot \underbrace{\frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12}_{\text{4 vezes}} \cdot (3+\underbrace{1+1+1+1}_{\text{4 vezes}})$

Ou seja:

$V_n = 4 \cdot \left( \frac12 \right)^{n-1} \cdot (3+n-1})$

Simplificando ainda mais o termo geral, temos:

$V_n = \frac{4}{2^{n-1}} \cdot (n+2})$

Este resultado deve ser provado por indução, mas acredito que não seja o foco deste exercício.

Mais simplificações:

$V_n = \frac{4(n+2)}{2^{n-1}}$

$V_n = \frac{4(n+2) \div 4}{\left(2^{n-1}\right) \div 2^2}$

$V_n = \frac{n+2}{2^{n-1-2}}$

$V_n = \frac{n+2}{2^{n-3}}$

Assim, o termo geral para o volume está bem simplificado.
Como estamos interessados na soma, chamemos de $S_{20}$ e vamos representá-la através do símbolo somatório:

$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} V_n = V_1 + V_2 + \cdots + V_{20}$

$S_{20} = \frac{3}{2^{-2}} + \frac{4}{2^{-1}} + \frac{5}{2^{0}} + \frac{6}{2^{1}} + \frac{7}{2^{2}} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}$

Reparem que olhando para os numeradores e denominadores, isoladamente, temos uma PA e uma PG, respectivamente.
Mas, por ser uma soma de frações com denominadores diferentes, não podemos somar diretamente os numeradores, ou os denominadores, então, não podemos utilizar as tais fórmulas de soma de termos, exceto se algo ainda esteja ausente nesta minha tentativa.
Pelo menos assim fica mais "prático" obter a soma dos 20 volumes:

$S_{20} = 3 \cdot 4 + 4\cdot 2 + \frac{5}{1} + \frac{6}{2} + \frac{7}{4} + \frac{8}{8} + \frac{9}{16} +\cdots + \frac{22}{2^{17}}$

$S_{20} = 12 + 8 + 5 + 3 + \frac74 + 1 + \frac{9}{16} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}$

Reparem que os volumes ficam cada vez menores, pois há um aumento exponencial dos denominadores.
Pensando assim, já poderíamos obter um volume bem aproximado, sem somarmos todos os 20 termos da seqüência, apenas somando alguns iniciais.

Mas, vejamos agora os valores obtidos de forma prática com o termo geral:

$S_{1} = 12$

$S_{2} = 12+8 = 20$

$S_{3} = 20+5 = 25$

$S_{4} = 25+3 = 28$

Como temos potências de 2, nesta resolução seria conveniente utilizar uma calculadora científica, pois os denominadores ficam maiores.

$S_{5} = 28 + \frac74 = 29,75$

$S_{6} = 29,75 + 1 = 30,75$

$S_{7} = 30,75 + \frac{9}{16} = 31,3125$

$S_{8} = 31,3125 + \frac{10}{32} = 31,625$

$S_{9} = 31,625 + \frac{11}{64} = 31,796875$

$S_{10} = 31,796875 + \frac{12}{128} = 31,890625$

Vejam que este volume que estamos somando é bem pequeno e a soma já pouco aumenta.
Ao fazer na calculadora, é mais prático utilizar em cada soma o valor anterior retornado:

$S_{11} = S_{10} + \frac{13}{256}$

$S_{12} = S_{11} + \frac{14}{512}$

$S_{13} = S_{12} + \frac{15}{1024}$

$S_{14} = S_{13} + \frac{16}{2048}$

$S_{15} = S_{14} + \frac{17}{4096}$

$S_{16} = S_{15} + \frac{18}{8192}$

$S_{17} = S_{16} + \frac{19}{2^{14}}$

$S_{18} = S_{17} + \frac{20}{2^{15}}$

$S_{19} = S_{18} + \frac{21}{2^{16}}$

$S_{20} = S_{19} + \frac{22}{2^{17}} \approx 32$

Dizemos que a soma dos volumes "converge" para

.

Bons estudos para todos!