Indução matemática

por **jogurgel** » Qua Abr 13, 2016 16:22

Alguém pode me ajudar a provar isso por indução?

$\left|\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}\right|\leq\sum_{i=1}^{n}\left|{x}_{i} \right|$

Obrigado!

por **adauto martins** » Sex Abr 15, 2016 17:06

p/ $i=1\Rightarrow \left|{x}_{1} \right|\succ {x}_{1}...$
p/ $i=1,2\Rightarrow \left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|\succ {x}_{1}+{x}_{2}...$
prova:
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}=({x}_{1})^{2}+2.{x}_{1}.{x}_{2}+{({x}_{2})}^{2}\preceq {\left|{x}_{1} \right|}^{2}+2.\left|{x}_{1} \right|.\left|{x}_{2} \right|+{\left|{x}_{2} \right|}^{2}={\left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|}^{2}$ $\Rightarrow \left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|\succeq {x}_{1}+{x}_{2}$ ...
vamos tomar como verdadeira a sentença... $\left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k} \right|\succeq {x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k}$ ...logo p/ $\left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k}+{x}_{k+1} \right|\succeq \left|{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{k} \right|+\left|{x}_{k+1} \right|\succeq ({x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k})+{x}_{k+1}$ ...

por **adauto martins** » Seg Abr 18, 2016 16:03

uma correçao...
a forma q. resolvi esses exercicio esta incorreta,vamos a correçao:
2)
${\left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|}^{2}={({x}_{1}+{x}_{2}})^{2}={{x}_{1}}^{2}+2.{x}_{1}.{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}\preceq {\left|{x}_{1} \right|}^{2}+2.\left|{x}_{1} \right|.\left|{x}_{2} \right|+{\left|{x}_{2} \right|}^{2}\preceq {(\left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|})^{2}$ $\Rightarrow \left|{x}_{1}+{x}_{2} \right|\preceq \left|{x}_{1} \right|+\left|{x}_{2} \right|$ ...
a hipotese de induçao é:
$\left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k} \right|\preceq \left|{x}_{1} \right|+\left|{x}_{2} \right|+...+\left|{x}_{k} \right|$ ...
entao:
$\left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k}+{x}_{k+1} \right|\preceq \left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k} \right|+\left|{x}_{k+1} \right|$ ,usando a hipotese de induçao,teremos...
$\left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k}+{x}_{k+1} \right|\preceq \left|{x}_{1}+{x}_{2}+...+{x}_{k} \right|+\left|{x}_{k+1} \right|\preceq \left|{x}_{1} \right|+\left|{x}_{2} \right|+...+\left|{x}_{k} \right|+\left|{x}_{k+1} \right|$ ...obrigado

por **jogurgel** » Seg Abr 18, 2016 20:48

Ô amigo.. brigadão mesmo!

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