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Indução Matemática em Sequências

Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Ter Dez 06, 2016 17:11

Esse é um exercício, onde tem que se verificar se são válidas as afirmações e estou com um pouco de dificuldade.

. Mostre utilizando inducao se as seguintes propriedades sao validas para
um n qualquer:
a) 1²+ 3² + 5² + ... + (2n + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3

Onde n e inteiro e n >= 1
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Qui Dez 08, 2016 20:02

Olá Antônio, seja bem-vindo!

De acordo com o princípio da indução finita e o enunciado, a igualdade deverá ser verdadeira \mathsf{\forall n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}}; ou seja, \mathsf{n = {1, 2, 3, 4,...}}.

Desse modo, a igualdade deverá ser válida para \underline{\mathsf{n = 1}} - elemento mínimo. Vejamos:

\\ \mathsf{1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n + 1)^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1^2 = \frac{(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = 10}

Ora, como podes notar, isto é um absurdo. Portanto, a afirmativa é falsa!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Sáb Dez 10, 2016 11:27

Olá Daniel, obrigado,

Esse exercício foi dado como tarefa, falei com o professor, e tinha um erro: não é n >= 1, e sim n > 1, acho então que considera o 1² mas o n inicial é 3², assim se fizer aquele cálculo vai achar S = 10, que é 1² + 3². Se estou correto.

Abraço!
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Dez 10, 2016 17:40

Boa tarde, Antônio!

Há um erro na verificação que fiz (1º post).

Observei o seguinte: a lei de formação da soma é dada por \mathsf{(2n + 1)^2}; ora, o primeiro termo é determinado substituindo "n" por zero, veja:

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 \cdot 0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{(0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{1^2}

E, se substituíres "n" por zero na expressão do lado direito da igualdade, perceberás que é verdadeira.

Por conseguinte, tomei n = 1. Daí,

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 + 1)^2 =} \\ \mathsf{3^2}

Uma vez que, não faz mui sentido ter n = 0, aplicamos a seguinte estratégia: passe o termo \mathsf{1^2} para o outro lado da igualdade. Desse modo, poderemos ter \mathsf{n \geq 1}.

Tomemos como hipótese que a igualdade seja verdadeira para \mathsf{n = k}, com \mathsf{k \in \mathbb{Z}^*}; então,

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1) \cdot (2k + 1) \cdot (2k + 3)}{3} - 1^2}

Isto posto, sabemos do Princípio da Indução Finita (1ª forma) que a igualdade será válida se \underline{\mathsf{n = k + 1}}. Ou seja,

\mathsf{3^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2 \cdot (k + 1) + 1)^2 = \frac{((k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 3)}{3} - 1}

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2k + {3})^2 = \frac{(k + 2) \cdot (2k + 3) \cdot (2k + 5)}{3} - {1}}

É a tese de indução!!

Agora, devemos prová-la. Segue, da hipótese que:

\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2}}_{hip\acute{o}tese} + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} - 1 \right ] + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} + (2k + 3)^2 - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 3) \right ] - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left ( \frac{2k^2 + k + 2k + 1 + 6k + 9}{3} \right ) - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 9k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 4k + 5k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k(k + 2) + 5(k + 2)}{3} - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{(k + 2) \cdot \left [ 2k + 5 \right ]}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(2k + 3) \cdot (k + 2) \cdot \left (2k + 5) \right ]}{3} - 1}

Ufa! Repare que isto (acima) corresponde à tese!

Como queríamos demonstrar!
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Seg Dez 12, 2016 09:30

Bom dia Daniel,

Muito interessante, e também muito obrigado, realmente é para um 'ufa' no final.

Abraço Antônio.
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: