• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Indução Matemática em Sequências

Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Ter Dez 06, 2016 17:11

Esse é um exercício, onde tem que se verificar se são válidas as afirmações e estou com um pouco de dificuldade.

. Mostre utilizando inducao se as seguintes propriedades sao validas para
um n qualquer:
a) 1²+ 3² + 5² + ... + (2n + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3

Onde n e inteiro e n >= 1
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Qui Dez 08, 2016 20:02

Olá Antônio, seja bem-vindo!

De acordo com o princípio da indução finita e o enunciado, a igualdade deverá ser verdadeira \mathsf{\forall n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}}; ou seja, \mathsf{n = {1, 2, 3, 4,...}}.

Desse modo, a igualdade deverá ser válida para \underline{\mathsf{n = 1}} - elemento mínimo. Vejamos:

\\ \mathsf{1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n + 1)^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1^2 = \frac{(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = 10}

Ora, como podes notar, isto é um absurdo. Portanto, a afirmativa é falsa!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1680
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Engº Pedreira - Rio de Janeiro
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Sáb Dez 10, 2016 11:27

Olá Daniel, obrigado,

Esse exercício foi dado como tarefa, falei com o professor, e tinha um erro: não é n >= 1, e sim n > 1, acho então que considera o 1² mas o n inicial é 3², assim se fizer aquele cálculo vai achar S = 10, que é 1² + 3². Se estou correto.

Abraço!
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Dez 10, 2016 17:40

Boa tarde, Antônio!

Há um erro na verificação que fiz (1º post).

Observei o seguinte: a lei de formação da soma é dada por \mathsf{(2n + 1)^2}; ora, o primeiro termo é determinado substituindo "n" por zero, veja:

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 \cdot 0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{(0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{1^2}

E, se substituíres "n" por zero na expressão do lado direito da igualdade, perceberás que é verdadeira.

Por conseguinte, tomei n = 1. Daí,

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 + 1)^2 =} \\ \mathsf{3^2}

Uma vez que, não faz mui sentido ter n = 0, aplicamos a seguinte estratégia: passe o termo \mathsf{1^2} para o outro lado da igualdade. Desse modo, poderemos ter \mathsf{n \geq 1}.

Tomemos como hipótese que a igualdade seja verdadeira para \mathsf{n = k}, com \mathsf{k \in \mathbb{Z}^*}; então,

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1) \cdot (2k + 1) \cdot (2k + 3)}{3} - 1^2}

Isto posto, sabemos do Princípio da Indução Finita (1ª forma) que a igualdade será válida se \underline{\mathsf{n = k + 1}}. Ou seja,

\mathsf{3^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2 \cdot (k + 1) + 1)^2 = \frac{((k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 3)}{3} - 1}

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2k + {3})^2 = \frac{(k + 2) \cdot (2k + 3) \cdot (2k + 5)}{3} - {1}}

É a tese de indução!!

Agora, devemos prová-la. Segue, da hipótese que:

\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2}}_{hip\acute{o}tese} + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} - 1 \right ] + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} + (2k + 3)^2 - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 3) \right ] - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left ( \frac{2k^2 + k + 2k + 1 + 6k + 9}{3} \right ) - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 9k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 4k + 5k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k(k + 2) + 5(k + 2)}{3} - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{(k + 2) \cdot \left [ 2k + 5 \right ]}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(2k + 3) \cdot (k + 2) \cdot \left (2k + 5) \right ]}{3} - 1}

Ufa! Repare que isto (acima) corresponde à tese!

Como queríamos demonstrar!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1680
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Engº Pedreira - Rio de Janeiro
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Seg Dez 12, 2016 09:30

Bom dia Daniel,

Muito interessante, e também muito obrigado, realmente é para um 'ufa' no final.

Abraço Antônio.
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando


Voltar para Sequências

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.