sequência

por **ulisses123** » Qui Jul 10, 2014 10:51

sendo Un=n*sen(n*pi/2) como provar se ela é ou não limitada?ela é convergente?

por **e8group** » Qui Jul 10, 2014 12:15

Dica : $sin(k\pi) = 0$ e $cos(k\pi) = (-1)^k$ para todo

inteiro .

Ora,se

for múltiplo de

, i.e,

nós temos que a subsequência $(u_{2m})$ é constante e é igual a

, pois , $u_{2m} = (2m) \cdot sin(m \pi) = 2m \cdot 0 = 0$ . Por outro lado , se

não for múltiplo de 2, i.e, n é impar n = 2m-1 , m=1,2,3 ...

nós temos que

$u_{2m-1} = (2m-1) \cdot sin( \frac{2m-1}{2}\pi) = (2m-1) \cdot sin( m \pi - \frac{\pi}{2} ) = (2m-1)(sin(m\cdot pi) cos(-\frac{\pi}{2}) + sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot cos(m\pi) ) = (2m-1) \cdot (-1)^{m+1} \neq 0 \forall m$ , pela unicidade do limite a sequência não converge e também não limitada (prove !) .

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