[Soma de raízes enésimas]

por **Gustavo Gomes** » Seg Nov 19, 2012 21:58

Pessoal...

Estou tentando calcular o valor de x = $\sqrt[]{2+\sqrt[]{2+\sqrt[]{2+\sqrt[]{2+....}}}}$ .

O resultado é 2.

Tentei pensar o problema como a soma S = $\lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{N} \sqrt[2n]{2}$ , mas não consegui calcular esse limite. Além disso, calculei exaustivamente algumas parcelas e o resultado diverge do apresentado. Onde eu estou errando?

Grato.

por **MarceloFantini** » Seg Nov 19, 2012 23:05

Seja $k = \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \ldots} } }$ . Então $k^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \ldots} } }$ , mas como isto é infinito temos k^2 = 2 + k

. Resolva a equação k^2 -k -2=0

encontrará k=2

e

como respostas. Como isto é obviamente positivo, segue que $\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \ldots} } } = 2$ .

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