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Limites infinitos

Limites infinitos

Mensagempor Sobreira » Sáb Out 13, 2012 00:07

f (x) \lim_{4-}\frac{\sqrt[]{16-{x}^{2}}}{x-4}

Vendo este limite.
Bom, a técnica que eu utilizo para resolver é que, se tratando de um limite genérico eu substituo o valor de x para o qual está tendendo a função (4).
Neste caso, com a substituição surgirá uma indeterminação do tipo 0/0, então eu sei que tenho que fatorar este polinômio para efetuar os cálculos.
Minha dúvida é, se para quando eu efetuar uma substituição e o numerador der uma constante e o denominador zero, para análise do sinal do infinito, eu devo fatorar o denominador sempre??
Ex.
f(t) \lim_{2+}\frac{t+2}{{t}^{2}-4}

Nestes casos que o numerador der uma constante e o denominador der zero direto com a substituição eu devo fatorar o denominador ou posso fazer direto considerando valores maiores que 2 (Por Ex. 3)?
Editado pela última vez por Sobreira em Sáb Out 13, 2012 01:32, em um total de 1 vez.
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Re: Limites infinitos

Mensagempor MrJuniorFerr » Sáb Out 13, 2012 00:50

Em Limites infinitos, ou seja, quando o numerador der diferente de 0 de primeira, não é necessário fatorar o denominador. Neste exemplo que você citou, sabe-se que substituindo o valor de t no numerador, será uma constante positiva e como t tende a 2^+, substituindo 2,01 em t no denominador, você obtém um valor maior que zero, ou seja, o resultado será +infinito.
Lembre-se do teorema de limites infinitos, quando a constante do numerador for positiva (c>0) e o denominador tender a 0^+, o resultado será +infinito. Se c<0 e o denominador tender a 0^+, o resultado será -infinito, e por aí vai...
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Re: Limites infinitos

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Out 13, 2012 01:05

Atente para o fato de que sua notação está completamente errada. O correto é \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{\sqrt{16-x^2}}{x-4}.

Semelhante para o segundo caso, onde você inclusive errou a notação da função: disse que era uma função da variável x quando na verdade é t. Troque uma das duas: escreva f(t) ou \frac{x+2}{x^2 -4}.
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Re: Limites infinitos

Mensagempor Sobreira » Sáb Out 13, 2012 01:37

Obrigado pelas dicas.
E acabei não observando os detalhes das notações. Obrigado.
A questão da fatoração do denominador, eu fiquei confuso pois eu geralmente também resolvo de forma direta, mas em algumas resoluções de livros, eu vi autores utilizando a fatoração para a resolução do limite.
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Re: Limites infinitos

Mensagempor Sobreira » Seg Out 29, 2012 23:29

Fala galera,
Estou neste tópico aki de novo pra comentar um fato que ocorreu a respeito dessa dúvida.
Hoje fiz uma prova de cálculo e antes da prova um colega questionou ao professor um exercício de limite infinito.
O professor disse que não aceitava a resolução por este método (aproximando dos valores para onde x estava tendendo) e só aceitaria caso todo denominador fosse racionalizado pois o procedimento de aproximação estava errado pois não era preciso e era impossível chegar a um valor tão próximo do valor para o qual x está convergindo.
(Não sei se fui bem claro).
Eu resolvi então fatorando o denominador....mas fiquei com essa dúvida agora novamente.Resolvi mais de 60 exercícios por aproximação e a resposta bateu exatamente como o gabarito.....já pesquisei em livros e os autores descrevem este procedimento como sendo válido....
E agora???
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Re: Limites infinitos

Mensagempor MarceloFantini » Ter Out 30, 2012 07:13

Sobreira, confesso que não entendi bem qual foi o problema. Você poderia citar um exemplo de um exercício que você fez, incluindo toda a explicação e procedimento, e dizer que parte exatamente seu professor disse que era inválido?
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Re: Limites infinitos

Mensagempor Sobreira » Ter Out 30, 2012 08:19

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x+2}{{x}^{2}-4}

Tomando este exercício como exemplo:
O meu questionamento inicial era de que, substituindo o valor para o qual x está tendendo na questão (neste caso 2) de cara é possível verificar que teremos cte/0.

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2+2}{4-4}

Bom, o que eu gostaria de saber, é se a partir deste instante eu poderia utilizar valores próximos de 2 pela direita (neste caso) para suspeitar o comportamento do infinito se (+\infty ou -\infty).

Resolvendo este:
\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{{2,1}^{2}-4}

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{4,41-4}

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4,1}{0,41}

Este resultado nos levaria a suspeitar que se trata de um limite tendendo ao infinito positivo (\infty).
E então o professor informou que não aceitaria este procedimento, então por consequência, teríamos que fatorar o denominador para a resolução do exercício (minha dúvida inicial respondida pelo colega MrJuniorFerr neste mesmo tópico).
Como eu disse, resolvi vários exercícios desta forma e as respostas foram corretas e mesmo que com este procedimento, eu esteja "apenas" investigando o comportamento do infinito, gostaria de saber se é válido ou não este procedimento.
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Re: Limites infinitos

Mensagempor MarceloFantini » Ter Out 30, 2012 09:07

Vamos tomar alguns cuidados.

Sobreira escreveu:O meu questionamento inicial era de que, substituindo o valor para o qual x está tendendo na questão (neste caso 2) de cara é possível verificar que teremos cte/0.

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2+2}{4-4}

Bom, o que eu gostaria de saber, é se a partir deste instante eu poderia utilizar valores próximos de 2 pela direita (neste caso) para suspeitar o comportamento do infinito se (+\infty ou -\infty).

Resolvendo este:
\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{{2,1}^{2}-4}

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{4,41-4}

\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4,1}{0,41}

Este resultado nos levaria a suspeitar que se trata de um limite tendendo ao infinito positivo (\infty)


Primeiro, você está errando grosseiramente a notação ao fazer isto: \lim_{x \to 2^+} \frac{2+2}{4 -4}. Se você 'substituiu' o ponto, por definição não pode escrever o limite junto. Como comentário ao seu método, isto não é uma resolução, porém é válido que você faça tais investigações para entender o comportamento da função. Adotar isto como resposta, no entanto, é errado.

Sobreira escreveu:E então o professor informou que não aceitaria este procedimento, então por consequência, teríamos que fatorar o denominador para a resolução do exercício (minha dúvida inicial respondida pelo colega MrJuniorFerr neste mesmo tópico).
Como eu disse, resolvi vários exercícios desta forma e as respostas foram corretas e mesmo que com este procedimento, eu esteja "apenas" investigando o comportamento do infinito, gostaria de saber se é válido ou não este procedimento.

O seu professor está correto ao não aceitar este procedimento numa resolução, mas ele está errado quanto à "validade" disto, no sentido em que isso contribui, sim, para entender melhor o comportamento da função. No entanto, como já disse, você não pode escrever isto numa resolução. Neste exemplo mesmo, a resolução deveria ser algo como:

Escrevendo x^2 -4 = (x+2)(x-2), teremos que o limite torna-se

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{x^2 -4} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2},

onde o denominador irá para zero pela direita, logo positivo, enquanto que o numerador permanece constante, portanto

\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = + \infty.
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O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

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