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Limites infinitos com modulo.

Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 18:04

f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-3}{\33-x}

Este é o limite pessoal.
Quando começo a desenvolver um limite, primeiro substituo o valor para qual x está tendendo e verifico com qual tipo de limite estou lidando, se uma indeterminção, 0/0, se posso realizar a conta direto e etc..., inclusive para limites infinitos, quando vejo que a expressão fica do tipo cte/0.
Neste caso então ao substituir x por 3 eu verifico uma indeterminação do tipo 0/0, mas daí em diante não consigo trabalhar mais nenhum tipo de fatoração nem outra técnica.
Gostaria de uma solução (técnica) para resolver este tipo de problema, pois acho q posso estar errando no modulo.
Obrigado.
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor e8group » Sex Out 12, 2012 18:19

Note que ,


|x| = -x  ; x < 0 e |x| = x ; x\geq 0 .


Agora como x \to 3^{+} quanto x\to 3^{-} > 0 . Podemos escrever que ,



\lim_{x\to3} \frac{|x| -3}{3-x} = \lim_{x\to3} \frac{x -3}{3-x} = \lim_{x\to3} \frac{- (3-x)}{3-x} = -1 .
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 18:26

santhiago escreveu:Note que ,


|x| = -x  ; x < 0 e |x| = x ; x\geq 0 .


Agora como x \to 3^{+} quanto x\to 3^{-} > 0 . Podemos escrever que ,



\lim_{x\to3} \frac{|x| -3}{3-x} = \lim_{x\to3} \frac{x -3}{3-x} = \lim_{x\to3} \frac{- (3-x)}{3-x} = -1 .


Obrigado por ter me respondido.
Me desulpe pela bobagem que eu postei...a questão correta é...
f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-x}{\33-x}
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor e8group » Sex Out 12, 2012 18:32

O gabarito estar errado ou você digitou o limite errado . Se o denominador fosse (3-x)^2 aí sim quanto x tende 3 f(x) tende infinito , é uma assíntota .
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 18:39

Então....
A questão correta é esta última que eu postei realmente....
f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-x}{\33-x}

São exercícios de limites infinitos...
E este exercício tem como resposta -\infty
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 19:35

Ninguem pessoal?????
:?:
*-) *-)
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor e8group » Sex Out 12, 2012 20:11

Como eu disse anteriormente ,veja o resultado do seu limite através do site wolframalpha cujo link

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... x+to+3%5E-
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 21:39

Então...
Esta questão é de um livro de calculo....e pesquisando na internet achei a resolução das questões deste livro....
Na resolução desta questão, resolveu-se da seguinte forma:

f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-x}{\33-x}

\lim_{\x x\to3-}= \lim_{\x x\to3-}(2)-3=-1

\lim_{\x x\to3-}= \lim_{\x x\to3-}3-x=0

f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-x}{\33-x}= -1/0

f(x)\ =         \lim_{\x x\to3-}\frac{\left|x|-x}{\33-x}= -\infty

Na resolução foi desmembrada o numerador e o denominador e no numerador foi utilizado 2 e no denominador o próprio 3.
Mas ainda perdura a seguinte problématica....
Porque usar o "2". Eu sei que ele um número menor que 3, aja visto que x tende a 3 por valores à esquerda do próprio 3.
Mas continuo com a mesma idéia fixa de que eu deveria substituir a expressão por 3 e aí em cima disso trabalhar a expressão, seja com indeterminação 0/0, ou outra coisa.
Gostaria de entender o raciocinio utilizadao nesta questão, pois já tentei todas formas e ainda não entendi de forma precisa a idéia a ser adotada.
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Gustavo Gomes » Sex Out 12, 2012 22:29

Olá, Sobreira.

Acredito que esse limite deveria corresponder a zero, pois para x\geq0, temos que \left|x \right|-x=0.

Veja esboço do gráfico de f(x).

a.png
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor fraol » Sex Out 12, 2012 22:44

Boa noite,

Sobreira escreveu:Mas ainda perdura a seguinte problématica....
Porque usar o "2". Eu sei que ele um número menor que 3, aja visto que x tende a 3 por valores à esquerda do próprio 3.


Uma possibilidade é que a notação do exercício seja \left \lfloor x \right \rfloor que significa o piso de x que neste caso seria 2.

.
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 22:47

Obrigado Gustavo,
Entendi sua idéia...Agora o que mais intriga é que quando substituo inicialmente 3 nos valores de x encontro uma indeterminação do tipo 0/0...e depois não consigo mais "mexer" na função para chegar em algo do tipo cte/0. Segundo a resolução do problema é utilizado 2 no denominador...mas o x do denominador também deveria ser substituido por 2....Daí para chegar no resultado de -\infty não entendo.
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 22:55

fraol escreveu:Boa noite,

Sobreira escreveu:Mas ainda perdura a seguinte problématica....
Porque usar o "2". Eu sei que ele um número menor que 3, aja visto que x tende a 3 por valores à esquerda do próprio 3.


Uma possibilidade é que a notação do exercício seja \left \lfloor x \right \rfloor que significa o piso de x que neste caso seria 2.

.


Então...
o símbolo que aparece é este \left[x \right]....me desculpe pela minha enorme ignorância....acho que pode estar aí o problema da questão....sinceramente ainda não tinha sido apresentado ao "piso e teto".
Então neste caso como ele informa o x dentro de piso e teto ao mesmo tempo....seria utilizado o piso (2) pois ele informa que x tende a 3 pela esquerda???
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor fraol » Sex Out 12, 2012 23:07

Sim, pois com essa notação que você passou está a tratar da função máximo inteiro que é o maior inteiro que não supera o número dado.

Como x tende a 3 pela esquerda, então x é menor do que 3 ( por exemplo 2,99.. ), e o maior inteiro que não o supera é 2.

Assim o resultado dado no livro está correto.

.
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Re: Limites infinitos com modulo.

Mensagempor Sobreira » Sex Out 12, 2012 23:43

fraol escreveu:Sim, pois com essa notação que você passou está a tratar da função máximo inteiro que é o maior inteiro que não supera o número dado.

Como x tende a 3 pela esquerda, então x é menor do que 3 ( por exemplo 2,99.. ), e o maior inteiro que não o supera é 2.

Assim o resultado dado no livro está correto.

.


Agora sim.
Conegui enteder perfeitamente e de quebra já fui "apresentado" ao piso e teto.
Muito obrigado a todos.
Tenho uma outro dúvida a respeito de limites infinitos mas acho mais conveniente criar outro tópico...pra não deixar duas dúvidas distintas em um mesmo tópico.
Abraço.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D