Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

por **Luthius** » Seg Ago 03, 2009 11:29

Dado o seguinte limite fundamental de Euler.
$\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$

Podendo a mesma ser substituida por:
$\lim_{x\rightarrow\infty}(1+x)^\frac{1}{x}=e$

Chegamos na seguinte simplificação/substituição:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{(1+x)}=e$

Usando uma das leis do limite:
$\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$

Pela simplificação teriamos como resultado :
$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?$

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.

por **Felipe Schucman** » Seg Ago 03, 2009 13:58

Luthius escreveu:
Usando uma das leis do limite:
$\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$

Pela simplificação teriamos como resultado :
$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?$

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.

Bom Dia,

Não sei se concordo com essas duas partes, você poderia explicar melhor?

Um Abraço!

por **Luthius** » Seg Ago 03, 2009 15:31

Usando uma das leis do limite diz que :
$\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$

O que eu fiz foi somente uma simplificação do limite fundamental e aplicar o mesmo com a lei do limite citado acima, entretanto o resultado gera dúvida conforme abaixo:
$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?$

Ou seja, porque isto acontece?
E isso não me parece ser uma verdade e sim uma indeterminação.

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.

por **Felipe Schucman** » Seg Ago 03, 2009 15:50

Luthius escreveu:Usando uma das leis do limite diz que :
$\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$

O que eu fiz foi somente uma simplificação do limite fundamental e aplicar o mesmo com a lei do limite citado acima, entretanto o resultado gera dúvida conforme abaixo:
$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?$

Ou seja, porque isto acontece?
E isso não me parece ser uma verdade e sim uma indeterminação.

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.

Me desculpe Lutius se eu estiver errado,
porém você foi impreciso nas anotações, quando um incognita tende a um certo numero, não quer dizer que ela é esse certo numero, algo que tende a zero não é zero, muitas vezes é algo tão proximos que simplificamos no resultado final para melhor compreensão....
Outra coisa continuo não entendendo como ocorre tal simplificação, o "n" surgiu da onde?
No caso do limite fundamental, o numero se aproxima de "e" porque $\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{(1+x)}=e$ o valor começa a convergir para certo ponto, pois o valor exponencial "cresce mais rapido", fica potencialmente maior conforme o valor aumenta...no caso se você for jogando com um calculadora valores iguais nos dois x e ir cada vez aumentando você verá que o valor começa a chegar a um certo numero (tem que ser um boa calculadora pois os valores tem que ser altos!).

Não sei se eu soube me explicar direito, mas foi tentando ajudar!

Um Abraço!

por **Luthius** » Ter Ago 04, 2009 08:44

Realmente eu me enganei, principalmento no valor que x se aproxima no limite fundamental, pois o correto é zero (0) ao invés de infinito.
E na lei do limite de raiz, o 'n' é fixo, diferente deste que o valor assumido é o de 'x'.
Obrigado pela luz, estava muito enganado.