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Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Mensagempor Luthius » Seg Ago 03, 2009 11:29

Dado o seguinte limite fundamental de Euler.
\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e

Podendo a mesma ser substituida por:
\lim_{x\rightarrow\infty}(1+x)^\frac{1}{x}=e

Chegamos na seguinte simplificação/substituição:

\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{(1+x)}=e

Usando uma das leis do limite:
\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}

Pela simplificação teriamos como resultado :
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.
Luthius
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Re: Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Mensagempor Felipe Schucman » Seg Ago 03, 2009 13:58

Luthius escreveu:
Usando uma das leis do limite:
\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}

Pela simplificação teriamos como resultado :
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.


Bom Dia,

Não sei se concordo com essas duas partes, você poderia explicar melhor?

Um Abraço!
Felipe Schucman
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Re: Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Mensagempor Luthius » Seg Ago 03, 2009 15:31

Usando uma das leis do limite diz que :
\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}

O que eu fiz foi somente uma simplificação do limite fundamental e aplicar o mesmo com a lei do limite citado acima, entretanto o resultado gera dúvida conforme abaixo:
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?

Ou seja, porque isto acontece?
E isso não me parece ser uma verdade e sim uma indeterminação.

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.
Luthius
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Re: Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Mensagempor Felipe Schucman » Seg Ago 03, 2009 15:50

Luthius escreveu:Usando uma das leis do limite diz que :
\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}

O que eu fiz foi somente uma simplificação do limite fundamental e aplicar o mesmo com a lei do limite citado acima, entretanto o resultado gera dúvida conforme abaixo:
\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\infty}=e?

Ou seja, porque isto acontece?
E isso não me parece ser uma verdade e sim uma indeterminação.

Abraços a todos, e agradecimentos pelo tempo disponível.


Me desculpe Lutius se eu estiver errado,
porém você foi impreciso nas anotações, quando um incognita tende a um certo numero, não quer dizer que ela é esse certo numero, algo que tende a zero não é zero, muitas vezes é algo tão proximos que simplificamos no resultado final para melhor compreensão....
Outra coisa continuo não entendendo como ocorre tal simplificação, o "n" surgiu da onde?
No caso do limite fundamental, o numero se aproxima de "e" porque \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{(1+x)}=e o valor começa a convergir para certo ponto, pois o valor exponencial "cresce mais rapido", fica potencialmente maior conforme o valor aumenta...no caso se você for jogando com um calculadora valores iguais nos dois x e ir cada vez aumentando você verá que o valor começa a chegar a um certo numero (tem que ser um boa calculadora pois os valores tem que ser altos!).

Não sei se eu soube me explicar direito, mas foi tentando ajudar!

Um Abraço!
Felipe Schucman
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Re: Dúvidas e curiosidade com os limites fundamentais

Mensagempor Luthius » Ter Ago 04, 2009 08:44

Realmente eu me enganei, principalmento no valor que x se aproxima no limite fundamental, pois o correto é zero (0) ao invés de infinito.
E na lei do limite de raiz, o 'n' é fixo, diferente deste que o valor assumido é o de 'x'.
Obrigado pela luz, estava muito enganado.
Luthius
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}