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Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor rubenesantos » Dom Ago 19, 2012 21:18

Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Abraço.
rubenesantos
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Re: Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 23, 2012 18:46

rubenesantos escreveu:Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.


Reveja suas contas para a primeira parte, pois o correto seria:

\int_{-1}^{1}x^2\left|x \right|+x^2 - \frac{2\left|x \right|^3 + 2}{3}\,dx

Agora lembre-se da definição de módulo:

|x| = \begin{cases} x,\,x\geq 0 \\ -x ,\,x < 0 \end{cases}

Sendo assim, será necessário separar a integral em duas:

\int_{-1}^{0} -x^3 + x^2 - \frac{-2x^3 + 2}{3} \,dx + \int_{0}^{1} x^3 + x^2 - \frac{2x^3 + 2}{3} \,dx

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor rubenesantos » Qui Ago 23, 2012 19:29

Luiz, valeu.

Isso mesmo, você está certo, naquela parte rola um jogo de sinal.

Eu construí o gráfico daí ficou moleza perceber que eu deveria dividir a integral, exatamente como você falou. Ainda tenho dificuldade para fazer isso sem conhecer o gráfico da função.

Mas, valeu a dica. Deu certinho! hehe
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.