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Limite-Qual o Valor de a?

Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Luthius » Sex Jul 31, 2009 11:19

Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Molina » Sex Jul 31, 2009 14:38

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius

Questão realmente intrigante. Como você já tentou resolve-la?

Eu começaria elevando ambos os lados por e.

Seria uma saída pra eliminar o ln.

Abraços, :y:
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Felipe Schucman » Sex Jul 31, 2009 15:06

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25

Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius


Bom dia,

Acho que começaria um pouco diferente do molina, tentaria utilizar um limite famoso que é \lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{1}{x})^{1x}=e, tentaria chegar nisso com alguma mudança de incognita talvez, a partir dai resolveria o resto....não sei se da certo assim depois vou tentar!

Um abraço!
Felipe Schucman
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Felipe Schucman » Sex Jul 31, 2009 19:39

Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25
ln{e}^{a} = 25
Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius


Ola! Pensei em algo que bnão tenho certeza que é correto mas talvez seja.... no caso ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25, independente do numero que a for a fração a/x ira tender a aproximadamente o mesmo numero pois x aumente infinitamente fazendo com que a fração tenda a 0...então,
Faria o seguinte, ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25 ----> ln{e}^a=25

que é, 1*a=25 ---> usando regras de logaritmos, o a cai, e o lne é a mesma coisa que 1, de que a=25....
Não tenho certeza disso, mas é um resolução que tentei....

Se alguém mais entendido de calculo aparecer porfavor aponte algum erro,

Um abraço!
Felipe Schucman
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Molina » Sex Jul 31, 2009 23:34

Felipe Schucman escreveu:
Luthius escreveu:Bom dia pessoal, gostaria do passo a passo para encontrar o valor de 'a' no limite abaixo.

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25
ln{e}^{a} = 25
Alguém pode me ajudar?

Abraço

Luthius


Ola! Pensei em algo que bnão tenho certeza que é correto mas talvez seja.... no caso ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25, independente do numero que a for a fração a/x ira tender a aproximadamente o mesmo numero pois x aumente infinitamente fazendo com que a fração tenda a 0...então,
Faria o seguinte, ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25 ----> ln{e}^a=25

que é, 1*a=25 ---> usando regras de logaritmos, o a cai, e o lne é a mesma coisa que 1, de que a=25....
Não tenho certeza disso, mas é um resolução que tentei....

Se alguém mais entendido de calculo aparecer porfavor aponte algum erro,

Um abraço!


Boa noite.

Acho que é isso mesmo.
Não notei aquele limite fundamental...

Só montando agora em uma única expressão:

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}((1+\frac{a}{x})^{x})^{a})=25

ln({e})^{a}=25

a*ln(e)=25

a*1=25

a=25
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Molina » Sex Jul 31, 2009 23:36

Será que podemos definir então que

ln(\lim_{x\rightarrow\propto}(1+\frac{a}{x})^{ax})=a :?:

:idea:
*-)
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Felipe Schucman » Sáb Ago 01, 2009 00:46

Acho que é um definição correta com tanto que aquilo seja mesmo um limite fundamental, o que temos que descobrir é se é um limite fundamental mesmo, talvez substituindo a por 25 e tentando chegar ao resultado saberemos.... tentar aproximar com uma boa calculadora o x a um valor bem alto....

Um abraço!
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Elcioschin » Sáb Ago 01, 2009 11:49

Limite (1 + 1/y)^y = e ----> Limite fundamental
y -->oo

Limite (1 + a/x)^ax = 25 ----> Fazendo a/x = 1/y -----> x = ay ----> x-->oo ----> y-->oo
x -->oo

Limite (1 + 1/y)^a*(ay) = 25
y -->oo

Limite (1 + 1/y)^a²y = 25
y -->oo

[Limite (1 + 1/y)^y]^a² = 25
y-->00

e^a² = 25 ----> (e^a)² = 5² ----> e^a = 5 -----> a = ln5
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Felipe Schucman » Sáb Ago 01, 2009 13:40

Elcioschin escreveu:Limite (1 + 1/y)^y = e ----> Limite fundamental
y -->oo

Limite (1 + a/x)^ax = 25 ----> Fazendo a/x = 1/y -----> x = ay ----> x-->oo ----> y-->oo
x -->oo

Limite (1 + 1/y)^a*(ay) = 25
y -->oo

Limite (1 + 1/y)^a²y = 25
y -->oo

[Limite (1 + 1/y)^y]^a² = 25
y-->00

e^a² = 25 ----> (e^a)² = 5² ----> e^a = 5 -----> a = ln5


Bom Dia Elcioschin,

Realmente acho que essa resolução ta certa, porém a resposta ficaria

ln e^a^2=25-----> ln e^a^2=25----- a= +5 ou  a= -5

Obrigado Elcioschin

Um Abraço!
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Elcioschin » Dom Ago 02, 2009 21:19

Felipe

Eu cometí um engano na última linha, mas a solução é outra:

e^(a²) = 25 -----> Aplicando logaritmo na base e (ln) nos dois membros:

ln[e^(a²)] = ln25 ----> (a²)lne = ln25 ----> a² = ln25 ----> a = [ln25]^(1/2) ----> a = V[ln25]
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Luthius » Seg Ago 03, 2009 10:04

Fiquei em dúvida.
Eu concordo em ser um limite fundamental e a resposta ser 25.
Mas a outra proposição não me deixa certo sobre o resultado.
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Elcioschin » Seg Ago 03, 2009 12:17

Felipe

Você está coberto de razão: somente agora eu vi que, na expressão original, existe o ln antes do limite.
Você pode ver que, em toda a minha demonstração, eu calculei APENAS o limite. Complementando:

ln[e^(a²)] = 25 -----> a²*lne = 5² ----> a²*1 = 5² ---> a² = 5² ----> a = +5 ou a = -5
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Luthius » Seg Ago 03, 2009 15:26

Então a resposta seguindo um passo a passo é:

ln(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{a}{x})^{ax})=25

Dado o seguinte limite fundamental de Euler.
\lim_{y\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{y})^y=e

Fazendo \frac{a}{x} em \frac{1}{y}
{x=ay}

Substituindo na fórmula:

ln(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{y})^{a(ay)}=25


Substituindo novamente:

ln(\lim_{x\rightarrow\infty}((1+\frac{1}{y})^{y})^{a^2})=25

ln(e)^{a^2}=25

Aplicando uma das leis dos logaritmos:
{a^2}*ln(e)=25
{a}=\sqrt[]{25}

{a}=+5

ou

{a}=-5

Obrigado pessoal, pelo grande apoio.

Obs.:Corrigi o erro conforme informado pelo nosso colega.
Editado pela última vez por Luthius em Ter Ago 04, 2009 08:39, em um total de 2 vezes.
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Re: Limite-Qual o Valor de a?

Mensagempor Elcioschin » Seg Ago 03, 2009 19:02

Luthius

Uma pequena correção ----> Fazendo a/x = 1/y
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

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Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

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Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}