Integral Dupla e inversao

por **ivoski** » Ter Ago 14, 2012 18:12

Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
$V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx$

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = $e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}$

por **LuizAquino** » Qui Ago 23, 2012 18:32

ivoski escreveu:Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
$V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx$

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = $e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}$

Vejamos o item a). A figura abaixo ilustra a região D.

: figura.png (36.07 KiB) Exibido 2144 vezes

Veja que todo o trabalho se resumiu a determinar a região delimitada pelos gráficos de f(x) = x^3

,

e

.

Analisando agora na ordem de integração invertida, precisamos escrever D no formato:

$D = \{(x,\,y)\,|\,a\leq y \leq b ,\, f_1(y)\leq x \leq f_2(y)\}$

Analisando a figura acima, note que $1\leq y \leq 8$ . Além disso, note que x está delimitado a esquerda pelo gráfico de $f_1(y) = \sqrt[3]{y}$ . Por outro lado, x está delimitado a direita pelo gráfico de f_2(y) = y

. Desse modo, temos que:

$D = \{(x,\,y)\,|\,1\leq y \leq 8 ,\, \sqrt[3]{y}\leq x \leq y\}$

Podemos então escrever que:

$V = \int_1^8\int_{\sqrt[3]{y}}^{y} f(x,\,y)\,dx\,dy$

Agora tente resolver o item b).

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