Escreva a Integral

por **ivoski** » Ter Ago 14, 2012 17:58

$I =\int_{0}^1 \int_{y}^1 \int_{0}^y f(x,y,z)\ dz dx dy$
na ordem dx dy dz.

por **LuizAquino** » Qui Ago 23, 2012 18:04

ivoski escreveu: $I =\int_{0}^1 \int_{y}^1 \int_{0}^y f(x,y,z)\ dz dx dy$
na ordem dx dy dz.

Como a ordem original é dz, dx e dy, temos uma região de integração do tipo:

$R_1 = \{(x,\,y,\,z)\,|\,a\leq y \leq b,\,f_1(y)\leq x \leq f_2(y),\,g_1(y,\,x)\leq z \leq g_2(y,\,x)\}$

Substituindo os dados da integral, temos que:

$R_1 = \{(x,\,y,\,z)\,|\,0\leq y \leq 1,\,y \leq x \leq 1,\, 0\leq z \leq y\}$

Para fazer o esboço dessa região, você tem que pensar no gráfico das funções x = f_1(y) = y

,

, $z = g_1(y,\,x) = 0$ e $z = g_2(y,\,x) = y$ .

No plano xy, o gráfico de x = y representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. Já o gráfico de x = 1 representa uma reta paralela ao eixo y e passando por (1, 0).

Já no espaço xyz, o gráfico de z = 0 coincide com o plano xy. Já o gráfico de z = y coincide com o plano z - y = 0.

Usando todas essas informações, montamos a figura abaixo.

: figura.png (4.68 KiB) Exibido 1051 vezes

Desejamos agora que a ordem de integração seja dx, dy e dz. Desse modo, a região de integração deve ter o formato:

$R_2 = \{(x,\,y,\,z)\,|\,a\leq z \leq b,\,f_1(z)\leq y \leq f_2(z),\,g_1(z,\,y)\leq x \leq g_2(z,\,y)\}$

Observando R_1

, note que $0\leq z \leq 1$ .

Para determinar f_1(z)

e

, precisamos projetar R_1

no plano yz. Nesse caso, precisamos projetar no plano yz o triângulo de vértices (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1). Essa projeção será simplesmente o triângulo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 1, 1). Analisando esses pontos no plano yz, obtemos que f_1 (z) = z

e

. Ou seja, temos que $z\leq y \leq 1$ .

Por fim, precisamos determinar $g_1(z,\,y)$ e $g_2(z,\,y)$ . Analisando R_1

, note que x é delimitado inferiormente pelo plano que passa por (0,0,0), (1,1,0) e (1, 1, 1). A equação desse plano é dada por x - y = 0. Desse modo, temos que $x = g_1(z,\,y) = y$ . Por outro lado, perceba que x é delimitado superiormente pelo plano x = 1. Sendo assim, temos que $x = g_2(z,\,y) = 1$ . Ou seja, temos que $y \leq x \leq 1$ .

Em resumo, temos que:

$R_2 = \{(x,\,y,\,z)\,|\,0\leq z \leq 1,\,z\leq y \leq 1,\, y \leq x \leq 1\}$

Portanto, podemos escrever que:

$I =\int_{0}^1 \int_{z}^1 \int_{y}^1 f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz$

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