Raizes de equação de grau>=3

por **citadp** » Qua Jun 20, 2012 09:32

Tenho também uma dúvida acerca de raízes.
Tenho uma função x^6+3x^5 = -1

Pedem-me, mostre que a equação tem uma raiz em ]-1, 0 [

Ora, o que eu costumo fazer é derivar, o que me dá 6x^5+ 15x^4

Como não consigo calcular assim os zeros, simplifiquei : x^3(x^2 + 15x) = 0 o que me dá um zero em x=-15, o que supostamente me ensinaram foi que se a derivada não tiver zeros existe apenas um zero na função.

Assim a derivada tem zeros.

Alguém me pode ajudar a resolver isto ?

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 10:47

citadp escreveu:Tenho uma função equação x^6+3x^5 = -1

Pedem-me, mostre que a equação tem uma raiz em ]-1, 0 [

Veja que para existir tal raíz a função $f(x) = x^{6}+3x^{5} +1$ deve mudar de sinal entre $(-\infty,-1)$ e $(0,+\infty)$

Então, para isto, basta selecionar um valor de $x_{1} \in (-\infty,-1)$ e outro de $x_{2} \in (0,+\infty)$ e mostrar que $f(x_{1}) <0$ e $f(x_{2})>0$ .

Para $x_{1}$ eu escolho, por exemplo $x_{1} = -2$ . Assim,

$f(-2) = (-2)^{6} + 3.(-2)^{5} + 1 = -31 <0$ .

Para $x_{2}$ eu escolho, por exemplo $x_{2} = 1$ . Assim,

$f(1/2) = (1)^{6} + 3.(1)^{5} + 1 = 5 >0$ .

Logo, concluímos que existe uma raíz no intervalo (-1, 0)

.

por **citadp** » Qua Jun 20, 2012 10:54

Então não é necessário fazer a derivada da função neste caso ?

E quando nos pedem para mostrar que a função tem no máximo duas raízes ou exactamente duas raízes reais?