[Dúvida]Aplicações de Integração - Volume do Tronco de Cone

por **Jhonata** » Dom Jun 10, 2012 12:45

Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:

Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda.

O gabarito é: $\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$ (Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

$\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}$

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

$A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2$

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

$\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx$

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.

OBS: Treco difícil, viu? (?°?°??? ???

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por **LuizAquino** » Seg Jun 11, 2012 11:35

Jhonata escreveu:Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:

troncodecone1.jpg (10.17 KiB) Exibido 8681 vezes

Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda.

O gabarito é: $\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$ (Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

$\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}$

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

$A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2$

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

$\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx$

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.

Considere a figura abaixo.

: troncodecone2.jpg (14.68 KiB) Exibido 8681 vezes

Por semelhança de triângulos, temos que:

$\dfrac{h-x}{h} = \dfrac{y-r}{R-r} \implies y = \dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r$

Desse modo, a área de cada seção transversal (paralela a base de raio R) será dada por:

$A(x) = \pi y^2 \implies A(x) = \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2$

Portanto, o volume do sólido será dado por:

$V = \int_0^h A(x) \,dx \implies V = \int_0^h \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2 \,dx$

Agora continue o exercício a partir daí.

Observação

Você inseriu a sua figura através de um servidor externo (no caso, o servidor http://imageshack.us/).

Ao invés de usar um servidor externo (que periodicamente excluem suas imagens menos usadas), use o nosso próprio servidor para armazenar suas figuras.

Basta usar a seção "Anexar arquivo" que está disponível durante a edição de um tópico. Vide a explicação no tópico abaixo:

[Anexos] Envio de anexos
viewtopic.php?f=134&t=7460

por **Jhonata** » Ter Jun 12, 2012 12:20

LuizAquino escreveu:
Jhonata escreveu:Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:

troncodecone1.jpg

Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda.

O gabarito é: $\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$ (Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

$\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}$

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

$A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2$

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

$\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx$

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.

Considere a figura abaixo.

troncodecone2.jpg

Por semelhança de triângulos, temos que:

$\dfrac{h-x}{h} = \dfrac{y-r}{R-r} \implies y = \dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r$

Desse modo, a área de cada seção transversal (paralela a base de raio R) será dada por:

$A(x) = \pi y^2 \implies A(x) = \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2$

Portanto, o volume do sólido será dado por:

$V = \int_0^h A(x) \,dx \implies V = \int_0^h \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2 \,dx$

Agora continue o exercício a partir daí.

Observação

Você inseriu a sua figura através de um servidor externo (no caso, o servidor http://imageshack.us/).

Ao invés de usar um servidor externo (que periodicamente excluem suas imagens menos usadas), use o nosso próprio servidor para armazenar suas figuras.

Basta usar a seção "Anexar arquivo" que está disponível durante a edição de um tópico. Vide a explicação no tópico abaixo:

[Anexos] Envio de anexos
viewtopic.php?f=134&t=7460

Muito obrigado, Luis!! x)

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