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[Dúvida]Aplicações de Integração - Volume do Tronco de Cone

[Dúvida]Aplicações de Integração - Volume do Tronco de Cone

Mensagempor Jhonata » Dom Jun 10, 2012 12:45

Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:
Imagem

Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda. :)

O gabarito é: \frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)(Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.




OBS: Treco difícil, viu? (╯°□°)╯︵ ┻━┻


.
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Re: [Dúvida]Aplicações de Integração - Volume do Tronco de C

Mensagempor LuizAquino » Seg Jun 11, 2012 11:35

Jhonata escreveu:Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:

troncodecone1.jpg
troncodecone1.jpg (10.17 KiB) Exibido 4674 vezes


Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda. :)

O gabarito é: \frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)(Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.


Considere a figura abaixo.

troncodecone2.jpg
troncodecone2.jpg (14.68 KiB) Exibido 4674 vezes


Por semelhança de triângulos, temos que:

\dfrac{h-x}{h} = \dfrac{y-r}{R-r} \implies y = \dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r

Desse modo, a área de cada seção transversal (paralela a base de raio R) será dada por:

A(x) = \pi y^2 \implies A(x) = \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2

Portanto, o volume do sólido será dado por:

V = \int_0^h A(x) \,dx \implies V = \int_0^h \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2 \,dx

Agora continue o exercício a partir daí.

Observação

Você inseriu a sua figura através de um servidor externo (no caso, o servidor http://imageshack.us/).

Ao invés de usar um servidor externo (que periodicamente excluem suas imagens menos usadas), use o nosso próprio servidor para armazenar suas figuras.

Basta usar a seção "Anexar arquivo" que está disponível durante a edição de um tópico. Vide a explicação no tópico abaixo:

[Anexos] Envio de anexos
viewtopic.php?f=134&t=7460
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Re: [Dúvida]Aplicações de Integração - Volume do Tronco de C

Mensagempor Jhonata » Ter Jun 12, 2012 12:20

LuizAquino escreveu:
Jhonata escreveu:Bem, o tópico já sugere o que estou estudando, então, vou direto ao ponto.
Me deparei com a seguinte questão: "Aplique os conceitos de integração para encontrar o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r conforme ilustrado na figura abaixo:

troncodecone1.jpg


Eu fiz umas relações forçadas, jogando a parte lateral triangular no eixo cartesiano, tentei também arrumar as relações por um trapézio, mas tudo me levou a uma resposta errada. Se alguém puder me ajudar, eu já agradeço a disposição. Toda ajuda é bem vinda. :)

O gabarito é: \frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)(Bem prevísivel, não? huahua)

Bem, eu voltei a tentar resolver essa questão, encontrei a seguinte relação entre os triângulos semelhantes pelas linhas que puxei dentro do próprio sólido, enfim, empaquei e nem sei se estar certo:

\frac{R-r}{R-x}=\frac{h}{y} \Rightarrow y=\frac{(R-x)h}{R-r}

Logo, como a secção transversal é uma circunferência, temos que sua área é:

A(x)=\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2

E o volume do sólido é supostamente a seguinte integral:

\int_{0}^{R}A(x) dx = \int_{0}^{R}\pi\left[\frac{(R-x)h}{R-r}\right]^2 dx

Bem, eu tentei resolver essa joça, mas ainda não está de acordo com o gabarito, portanto deixei assim mesmo... Pode ser que a relação esteja errada, mas eu creio que não. :/
Se estiver errado, não sei mais o que posso fazer.


Considere a figura abaixo.

troncodecone2.jpg


Por semelhança de triângulos, temos que:

\dfrac{h-x}{h} = \dfrac{y-r}{R-r} \implies y = \dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r

Desse modo, a área de cada seção transversal (paralela a base de raio R) será dada por:

A(x) = \pi y^2 \implies A(x) = \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2

Portanto, o volume do sólido será dado por:

V = \int_0^h A(x) \,dx \implies V = \int_0^h \pi \left[\dfrac{(h-x)(R-r)}{h} + r\right]^2 \,dx

Agora continue o exercício a partir daí.

Observação

Você inseriu a sua figura através de um servidor externo (no caso, o servidor http://imageshack.us/).

Ao invés de usar um servidor externo (que periodicamente excluem suas imagens menos usadas), use o nosso próprio servidor para armazenar suas figuras.

Basta usar a seção "Anexar arquivo" que está disponível durante a edição de um tópico. Vide a explicação no tópico abaixo:

[Anexos] Envio de anexos
viewtopic.php?f=134&t=7460



Muito obrigado, Luis!! x)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
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{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
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zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.