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[Taxa de variação] verificar o desenvolvimento .

[Taxa de variação] verificar o desenvolvimento .

Mensagempor e8group » Sex Jun 01, 2012 20:02

Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo ,a resistência total R é dada por
1/R =(1/R1) +(1/R2) . Se R1 e R2 aumentam à razão de 0,01 ohms/s e 0,02 ohms/s .Qual a taxa de variação de R no instante que R1 =30 ohms e R2 = 90 ohms ? ( resposta : 0,11/16 ohms/s) .

Obs.:( Desenvolvi este exercício ,entretanto minha resposta difere do gabarito) .

Gostaria de saber onde estou errando no meu desenvolvimento .

solução :
\frac{1}{R} = \frac{1}{R1} +\frac{1}{R2}  -> R = \frac{R1R2} {(R1+R2)}\rightarrow \frac{d}{dt}R = \frac{d}{dt}(\frac{R1R2}{R1+R2})\rightarrow\frac{d}{dt}R =\frac{ (R1+R2)\frac{d}{dt}(R1R2)-(R1R2)\frac{d}{dt}(R1+R2)}{(R1+R2)^2}= \frac{R2(\frac{d}{dt}R1)+R1(\frac{d}{dt}R2)}{R1+R2} - \frac{R1R2(\frac{d}{dt}R1+\frac{d}{dt}R2)}{(R1+R2)^2}

Fazendo as contas com os valores fornecidos ,achei d(R)/dt = 0,07/16 ohms/s .
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Re: [Taxa de variação] verificar o desenvolvimento .

Mensagempor Russman » Sáb Jun 02, 2012 03:33

Acredito que você tenha complicado um pouco a derivação. Tente fazer assim:

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \Rightarrow \frac{\mathrm{dR} }{\mathrm{d} t}= R^{2}\left (\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{\mathrm{dR_{1}} }{\mathrm{d} t} + \frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{\mathrm{dR_{2}} }{\mathrm{d} t}  \right )\Rightarrow \frac{\mathrm{dR} }{\mathrm{d} t}= \left ( \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} \right )^{2}\left (\frac{1}{R_{1}^{2}}\frac{\mathrm{dR_{1}} }{\mathrm{d} t} + \frac{1}{R_{2}^{2}}\frac{\mathrm{dR_{2}} }{\mathrm{d} t}  \right )


Tente agora e veja se funciona.
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Re: [Taxa de variação] verificar o desenvolvimento .

Mensagempor e8group » Sáb Jun 02, 2012 10:24

Russman ,realmente minha derivação foi mais complicada ,de fato usando R^(-1) =R1^(-1)+R2^(-1) e utilizando a( regra da cadeia) fica bem mais simples a derivação .sendo assim,agora a resposta estar de acordo com o gabarito .obrigado.

abraço!
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Re: [Taxa de variação] verificar o desenvolvimento .

Mensagempor vivik » Qui Mai 17, 2018 05:40

Conseguiu responder? Poderia me ajudar?
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}