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derivar função com módulo

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Mensagempor amanda costa » Sex Jun 01, 2012 01:10

Teve uma questão na minha prova de cálculo hoje que gostaria de saber qual é a resposta certa

Na função f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right| era pra mostrar se existia f'(0)

eu calculei e deu -2, mas acho que está errada. Se alguém puder me mostrar como resolve eu agradeço.
amanda costa
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Russman » Sex Jun 01, 2012 01:46

O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-2x &,x>0 \\ 
 -x^{2}+2x&,x<0 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-2 &, x>0 \\ 
 -2x+2&,x<0 
\end{matrix}\right.

Assim,

\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2

e

\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2

Como você vê o limite bilateral L,

L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x),

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em x=0.

Sinto muito.
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Francisco de Brito » Sex Jun 01, 2012 11:02

Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.

Só pra ter u,a noção melhor ainda do assunto .....
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Francisco de Brito » Sex Jun 01, 2012 11:03

Russman escreveu:O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-2x &,x>0 \\ 
 -x^{2}+2x&,x<0 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-2 &, x>0 \\ 
 -2x+2&,x<0 
\end{matrix}\right.

Assim,

\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2

e

\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2

Como você vê o limite bilateral L,

L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x),

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em x=0.

Sinto muito.



Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor joaofonseca » Sex Jun 01, 2012 18:49

Genericamente as funções modulo são continuas mas não são difererenciáveis
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Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?