Limite: Cosseno(x) e Seno(x) com X tendendo a infinito

por **lucasguilherme2** » Qui Mai 24, 2012 11:49

Prezados,
Gostaria que vocês me ajudassem no entendimento do valor do cosseno(x) e seno(x) quando X tende a infinito. Sei que o valor oscila entre 1 e -1, mas dessa conclusão não consigo tirar as respostas. Sempre fico na dúvida se é zero ou infinito ou, até mesmo, 1. Se puderem me ajudar, eu agradeço.

ass.: Lucas Guilherme

por **LuizAquino** » Qui Mai 24, 2012 19:05

lucasguilherme2 escreveu:Gostaria que vocês me ajudassem no entendimento do valor do cosseno(x) e seno(x) quando X tende a infinito. Sei que o valor oscila entre 1 e -1, mas dessa conclusão não consigo tirar as respostas. Sempre fico na dúvida se é zero ou infinito ou, até mesmo, 1.

Cada limite é um caso. Por favor, informe o limite que você está com dificuldade.

por **lucasguilherme2** » Seg Mai 28, 2012 21:51

Na verdade, é que estou estudando sequencias e,nos exercícios onde se pede a analise para ver se a função diverge ou converge, aparece a função seno e cosseno multiplicadas.

Exemplo: determinar se a seguinte função diverge ou converge.
Para isso é necessário que se faça o limite com n tendendo ao infinito, daí vem minhas dúvidas quanto ao valor do seno.
$\left[ [(2n² + 1) / (n + 1)]* sen \pi/2n \right]$ $\left[ [(2n² + 1) / (n + 1)]* sen \pi/2n \right]$

Se puderem me ajudar, agradeço muito.

por **LuizAquino** » Ter Mai 29, 2012 11:54

lucasguilherme2 escreveu:Na verdade, é que estou estudando sequencias e,nos exercícios onde se pede a analise para ver se a função diverge ou converge, aparece a função seno e cosseno multiplicadas.

Exemplo: determinar se a seguinte função diverge ou converge.
Para isso é necessário que se faça o limite com n tendendo ao infinito, daí vem minhas dúvidas quanto ao valor do seno.
$\left[ [(2n² + 1) / (n + 1)]* sen \pi/2n \right]$ $\left[ [(2n² + 1) / (n + 1)]* sen \pi/2n \right]$

Da forma como você escreveu, a sequência seria:

$\left(\frac{2n^2 + 1}{n + 1}\right) \frac{\textrm{sen}\,\pi}{2} n$

Mas ao que parece, a sequência original no exercício deve ser:

$\left(\frac{2n^2 + 1}{n + 1}\right) \textrm{sen}\,\frac{\pi}{2}n$

Nesse caso, você deveria ter escrito algo como:

$\left[\left(2n^2+ 1\right)/(n + 1)\right]\,\textrm{sen}\,(\pi n/2)$

Perceba a importância de escrever corretamente as notações!

Feita essa observação, vejamos a resolução.

Quando $n \to +\infty$ , o valor de $\textrm{sen}\,\frac{\pi}{2}n$ é indeterminado.

Dos conhecimentos de trigonometria, sabemos que:

$\textrm{sen}\,\frac{\pi \cdot 0}{2} = 0$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi \cdot 1}{2} = 1$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi \cdot 2}{2} = 0$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 3}{2} = -1$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 4}{2} = 0$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 5 }{2}= 1$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 6}{2} = 0$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 7}{2} = -1$

$\textrm{sen}\,\frac{\pi\cdot 8}{2} = 0$

(...)

Podemos perceber nisso um padrão. Quando n é par, o valor desse seno é 0. Quando n pertence a p. a. {1, 5, 9, 13, ...}, esse valor é 1. E quando n pertence a p. a. {3, 7, 11, 15, ...}, esse valor é -1.

Sendo assim, temos que:

$a_n = \begin{cases}0,\,\textrm{se } n \textrm{ \' e par}; \\ \\ \dfrac{2n^2 + 1}{n + 1},\,\textrm{se } n \in \{1,\,5,\,9,\,13,\,\ldots\}; \\ \\ -\dfrac{2n^2 + 1}{n + 1},\,\textrm{se } n \in \{3,\,7,\,11,\,15,\,\ldots\}; \end{cases}$

Perceba agora que cada parte dessa sequência tem um limite diferente quando $n \to+\infty$ . A primeira parte vai para 0. Já a segunda vai para $+\infty$ . E a terceira vai para $-\infty$ .

Como cada parte tem um limite diferente, concluímos que a sequência a_n