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[Integral Dupla] Imagem do conjunto S - Mudança de Variável

[Integral Dupla] Imagem do conjunto S - Mudança de Variável

Mensagempor neymeirelles » Qua Mai 23, 2012 21:14

Boa noite a todos, estou estudando integral dupla e tripla na disciplina de calculo 3. Resolvendo exercícios fiquei com dúvidas na resolução da seguinte questão, na verdade estou sem ideia de como resolver. Tem outras letras o exercícios, mas se eu entender esse mais simples os outros eu devo conseguir fazer.

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada:
a) S = {(u,v); 0 < u < 3, 0 < v < 2}; x = 2u + 3v, y = u - v


obs: O que eu já fiz:
u = x/5 + 3y/5
v = x/5 - 2y/5
Sei que a imagem de S é a região R no plano 'xy'. Então preciso encontrar uma forma de esboçar minha região S no plano xy.

De ante-mão já agradeço aqueles que tentarem ajudar.
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Re: [Integral Dupla] Imagem do conjunto S - Mudança de Variá

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 19:02

neymeirelles escreveu:Boa noite a todos, estou estudando integral dupla e tripla na disciplina de calculo 3. Resolvendo exercícios fiquei com dúvidas na resolução da seguinte questão, na verdade estou sem ideia de como resolver. Tem outras letras o exercícios, mas se eu entender esse mais simples os outros eu devo conseguir fazer.

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada:
a) S = {(u,v); 0 < u < 3, 0 < v < 2}; x = 2u + 3v, y = u - v


obs: O que eu já fiz:
u = x/5 + 3y/5
v = x/5 - 2y/5

Sei que a imagem de S é a região R no plano 'xy'. Então preciso encontrar uma forma de esboçar minha região S no plano xy.


Agora, como você já sabe que 0 < u < 3 e 0 < v < 2, poderá dizer que:
0 < x/5 + 3y/5 < 3
0 < x/5 - 2y/5 < 2

Sendo assim, a região desejada é determinada pelas inequações:
x/5 + 3y/5 > 0
x/5 + 3y/5 < 3
x/5 - 2y/5 > 0
x/5 - 2y/5 > 2

Para concluir, basta fazer o esboço da região determinada por essas inequações.
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Re: [Integral Dupla] Imagem do conjunto S - Mudança de Variá

Mensagempor neymeirelles » Sex Mai 25, 2012 12:18

Muito obrigado, era o que estava faltando. Consegui resolver essa e as outras. :y:

LuizAquino escreveu:
neymeirelles escreveu:Boa noite a todos, estou estudando integral dupla e tripla na disciplina de calculo 3. Resolvendo exercícios fiquei com dúvidas na resolução da seguinte questão, na verdade estou sem ideia de como resolver. Tem outras letras o exercícios, mas se eu entender esse mais simples os outros eu devo conseguir fazer.

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada:
a) S = {(u,v); 0 < u < 3, 0 < v < 2}; x = 2u + 3v, y = u - v


obs: O que eu já fiz:
u = x/5 + 3y/5
v = x/5 - 2y/5

Sei que a imagem de S é a região R no plano 'xy'. Então preciso encontrar uma forma de esboçar minha região S no plano xy.


Agora, como você já sabe que 0 < u < 3 e 0 < v < 2, poderá dizer que:
0 < x/5 + 3y/5 < 3
0 < x/5 - 2y/5 < 2

Sendo assim, a região desejada é determinada pelas inequações:
x/5 + 3y/5 > 0
x/5 + 3y/5 < 3
x/5 - 2y/5 > 0
x/5 - 2y/5 > 2

Para concluir, basta fazer o esboço da região determinada por essas inequações.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}