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Integral Tripla

Integral Tripla

Mensagempor Cleyson007 » Qua Mai 16, 2012 11:41

Bom dia a todos!

Calcule \int_{}^{}\int_{}^{}{\int_{}^{}}_{R}\,\,xyz\,\,dxdydz, onde R = [0,1] x [1,2] x [0,3].

A montagem é essa mesma? --> \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}xyz\,dxdydz

Como resolver esse exercício?

Se alguém puder me ajudar, agradeço.

Até mais.
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Re: Integral Tripla

Mensagempor Cleyson007 » Qua Mai 16, 2012 15:31

Boa tarde a todos!

Parti da montagem acima e consegui desenvolver encontrando 27/8 como resposta :y:

Agora minha dúvida é: Como fazer o esboço da região R de integração?

Aguardando..

Cleyson007
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Re: Integral Tripla

Mensagempor LuizAquino » Sex Mai 18, 2012 20:14

Cleyson007 escreveu:Calcule \int_{}^{}\int_{}^{}{\int_{}^{}}_{R}\,\,xyz\,\,dxdydz, onde R = [0,1] x [1,2] x [0,3].

A montagem é essa mesma? --> \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}xyz\,dxdydz


Note a sequência de diferenciais que aparecem na integral: dxdydz.

Desse modo, primeiro estamos integrando em relação a x, depois em relação a y e por fim em relação a z. Como R = [0,\, 1]\times [1,\,2]\times [0,\,3] , temos que x\in [0,\,1], y\in [1,\,2] e z\in [0,\,3] .

Portanto, a montagem adequada é:

\int_{0}^{3}\int_{1}^{2}\int_{0}^{1} xyz \,dx\,dy\,dz

Cleyson007 escreveu:Agora minha dúvida é: Como fazer o esboço da região R de integração?


É apenas um prima regular com base quadrada.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}