[Derivadas]- Taxas Relacionadas

por **Ana_Rodrigues** » Dom Mai 13, 2012 09:33

Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P.

Resposta:

$3480\pi m/min$

Eu não estou conseguindo achar uma equação que relacione o ponto P e Q. Primeiro eu pensei na seguinte situação

O farol seria o centro das circunferências que passam pelos pontos P e Q e pensei nos pontos P, Q e o farol como pontos colineares, daí seria fácil achar o raio da circunferência que passa por Q, mas não necessariamente isso tem que ocorrer. Daí o máximo que consegui fazer foi achar a taxa de variação de P que é:

$\frac{dp}{dt}= 480\pi m/min$

Como posso achar uma equação que relacione P e Q?

por **LuizAquino** » Seg Mai 14, 2012 10:16

Ana_Rodrigues escreveu:Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m de P, o ponto mais próximo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 150m de P.

Resposta:
$3480\pi m/min$

Ana_Rodrigues escreveu:Eu não estou conseguindo achar uma equação que relacione o ponto P e Q. Primeiro eu pensei na seguinte situação

O farol seria o centro das circunferências que passam pelos pontos P e Q e pensei nos pontos P, Q e o farol como pontos colineares, daí seria fácil achar o raio da circunferência que passa por Q, mas não necessariamente isso tem que ocorrer. Daí o máximo que consegui fazer foi achar a taxa de variação de P que é:

$\frac{dp}{dt}= 480\pi m/min$

Como posso achar uma equação que relacione P e Q?

Note que P, Q e F não são colineares. Além disso, essa taxa de variação que você determinou não faz sentido.

Vejamos o início da resolução.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: figura.png (11.64 KiB) Exibido 5353 vezes

Deseja-se saber o que acontece quando x = 150 m. Nesse caso, teremos S = Q.

Como o farol dá 1 volta completa a cada 15 segundos, temos que a taxa de variação do ângulo $\alpha$ em relação ao tempo é igual a $\frac{2\pi}{15}\textrm{ rad/s}$ . Em outras palavras, temos que $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{2\pi}{15}\textrm{ rad/s}$ .

Analisando o triângulo retângulo ilustrado na figura, temos que:

$\textrm{tg}\,\alpha = \frac{x}{60} \implies x = 60 \, \textrm{tg}\,\alpha$

Sendo assim, temos que:

$\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dt} = \left(60\sec^2\alpha\right)\frac{2\pi}{15}$

Quando x = 150 m, no triângulo retângulo temos que:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{60}{\sqrt{60^2 + 150^2}}} = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Agora tente continuar o exercício a partir daí.

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