Derivadas, Limites

por **Grasi** » Qui Jun 25, 2009 00:15

Quais são as dimensões do retângulo de menor perímetro que tem área de 1 ha?

Já tentei encontrar a solução em 3 livros q tenho, mas os exemplos e teorias não estão me ajudando.

Peço a gentileza para ajudar-me, agradeço dede já. Muito obrigada!

por **Molina** » Qui Jun 25, 2009 11:30

Grasi escreveu:Quais são as dimensões do retângulo de menor perímetro que tem área de 1 ha?

Já tentei encontrar a solução em 3 livros q tenho, mas os exemplos e teorias não estão me ajudando.

Peço a gentileza para ajudar-me, agradeço dede já. Muito obrigada!

Área do retângulo é dado por A=b*h

, logo,

Perímetro do retângulo é dado por P=2(b+h)

$b*h=1 \Rightarrow b=\frac{1}{h}$ , substituindo na fórmula do perímetro: $P=2(\frac{1}{h}+h) \Rightarrow P=2(\frac{1+h^2}{h}) \Rightarrow P=\frac{2+2h^2}{h}$

Devemos encontrar o mínimo desta função:

$P'=\frac{2h^2-2}{h^2}=0 \Rightarrow h=\sqrt{1} \Rightarrow h=1$ (ponto de mínimo local)

Pelo teste da segunda deirvada temos que P'' > 0

, $\forall h>0$ , logo o gráfico de P é côncavo para cima e o ponto de mínimo local deve ser também o mínimo absoluto.

Conclusão: A altura ideal é h=1

, logo, se o retângulo tem área igual a 1, a base também deve ser igual a 1 (b=1)

.

Bom estudo, :y:

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