Integral iterada e região de integração

por **Cleyson007** » Qua Abr 18, 2012 10:59

Bom dia a todos!

Calcule a integral iterada $\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{{(x+y)}^{2}}\,dydx$ e esboce sua região de integração R.

Se alguém puder me ajudar, ficarei grato.

Aguardo retorno.

por **LuizAquino** » Qui Abr 19, 2012 12:08

Cleyson007 escreveu:Bom dia a todos!

Calcule a integral iterada $\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{{(x+y)}^{2}}\,dydx$ e esboce sua região de integração R.

Para esboçar a região de integração, siga os passos:

1) Marque no eixo x os pontos (1, 0) e (2, 0);
2) Faça o gráfico da função f(x) = x restrita ao intervalo [1, 2];
3) Faça o gráfico da função g(x) = 2x restrita ao intervalo [1, 2];
4) Note que os valores de y estarão "acima" do gráfico de f e "abaixo" do gráfico de g.

Tente seguir cada um dos passos. Se você não conseguir, então poste aqui o seu desenvolvimento até o passo que você foi.

Em relação a resolução da integral, por favor informe até que parte você conseguiu fazer.

por **Cleyson007** » Qui Abr 19, 2012 15:58

Boa tarde Aquino!

Apresentando minha resolução:

$\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{(x^{2}+2xy+y^{2})}\,dydx$

$\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{x^{2}y+2xy^{2}+\frac{y^{3}}{3}} \right )_{x}^{2x}dx$

Primeiramente, gostaria de saber se até aqui está correto.

Aguardo retorno.

por **LuizAquino** » Qui Abr 19, 2012 23:15

Cleyson007 escreveu:Apresentando minha resolução:

$\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{(x^{2}+2xy+y^{2})}\,dydx$

$\int_{1}^{2}\left ( \frac{1}{x^{2}y+2xy^{2}+\frac{y^{3}}{3}} \right )_{x}^{2x}dx$

Primeiramente, gostaria de saber se até aqui está correto.

Está errado.

Fazendo a substituição u = x + y e du = dy, temos que:

$\int_x^{2x} \frac{1}{(x+y)^2}\, dy = \int_{2x}^{3x} \frac{1}{u^2}\, du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{2x}^{3x} = -\frac{1}{3x} + \frac{1}{2x}$

Desse modo, temos que:

$\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{{(x+y)}^{2}}\,dy\,dx = \int_{1}^{2} -\frac{1}{3x} + \frac{1}{2x}\, dx$

Agora tente terminar o exercício.

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