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[limites no infinito] a resolução está correta?

[limites no infinito] a resolução está correta?

Mensagempor Fabio Wanderley » Dom Abr 01, 2012 03:20

Minha dúvida está em dois limites:

1) \lim_{x \to +\infty}\left[x - \sqrt[]{x^2 + 1} \right]

\lim_{x \to +\infty}x - \sqrt[]{x^2 + 1}. \frac{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}

\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}

\lim_{x \to +\infty}\frac{-1}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}

\frac{-1}{+\infty + (+\infty)} = 0
Esta resolução é válida? Mais precisamente as operações com o símbolo "infinito"...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) \lim_{x \to +\infty}\left[\sqrt[]{x + 1} - \sqrt[]{x + 3} \right]

\lim_{x \to +\infty}\left[\sqrt[]{x + 1} - \sqrt[]{x + 3} \right].\frac{\left[\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x + 3} \right]}{\left[\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x + 3} \right]}

\lim_{x \to +\infty}\frac{x + 1 - x - 3}{\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+3}}

\lim_{x \to +\infty}\frac{-2}{\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+3}}

\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt[]{x}}.\frac{-2}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{x}}+\sqrt[]{1+\frac{3}{x}}}
Que propriedade, envolvendo os radicandos, foi usada na linha acima?

Desde já agradeço!
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Re: [limites no infinito] a resolução está correta?

Mensagempor MarceloFantini » Dom Abr 01, 2012 03:36

No primeiro, o correto seria ir do limite diretamente a zero. São símbolos sem sentido dizer que \frac{-1}{+ \infty + (+\infty} = 0. No segundo, ele apenas colocou o número x em evidência, veja: \sqrt{x+1} = \sqrt{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\left(1+ \frac{1}{x}\right)}.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [limites no infinito] a resolução está correta?

Mensagempor Fabio Wanderley » Dom Abr 01, 2012 15:31

Obrigado, Marcelo!

E agora visualizei a operação no radicando.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?